Системы линейных алгебраических уравнений

Матрицы и действия над ними

Основные понятия

§ Матрицей размера называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов:

Элементами матрицы a_ij могут быть, например, действительные или комплексные числа, функции или другие объекты. Условная запись a_ij обозначает элемент матрицы А, стоящий в i -й строке и j -м столбце.

§ Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. Элементы a_ii квадратной матрицы называют элементами главной диагонали.

Пример: - матрица размера ;

а ₁₁=1, а ₁₂=0, а ₁₃=-2, а ₂₁=3, а ₂₂=-1, а ₂₃=1.

§ Матрицы одного размера называются равными, если равны их соответствующие элементы, то есть .

§ Матрица А называется нулевой, если все ее элементы . Обозначают: А=0.

§ Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0.

§ Диагональная матрица называется единичной, если . Единичную матрицу обозначают: .

§ Квадратная матрица называется треугольной, если равны 0 все элементы под ее главной диагональю (верхнетреугольная матрица) или над главной диагональю (нижнетреугольная матрица):

Действия над матрицами

§ Суммой двух матриц и одного размера называется матрица того же размера, где

Легко видеть, что А+В=В+А и А+0=А.

§ Произведением матрицы на число l называется матрица того же размера, где .

Свойства:

1) А + В = В + А (коммутативность сложения матриц)

2) (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С (ассоциативность сложения)

3) А+0=0+А

4) a(А+В)= aА+aВ

5) (a+b)А=aА+bА

 

§ Произведением матриц А размера и В размера называется матрица С=АВ размера , где

.

Говорят, что элемент с _ij получен в результате умножения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В:

,

причем такое произведение можно составить потому, что строки матрицы А и столбцы матрицы В содержат одинаковое число элементов. Если это не так, то матрицы перемножить нельзя.

Отметим, что, вообще говоря, (может даже быть так, что произведение АВ существует, а ВА – нет).

Свойства:

1) (отсутствие коммутативности умножения матриц)

2) А(ВС)=(АВ)С (ассоциативность умножения)

3) a(АВ)=(aА)В=А(aВ)

4) (ab)А=a(bА)=b(aА)

5) (А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ (дистрибутивность)

 

Легко видеть, что если Е – единичная матрица порядка n и А – матрица размера , то АЕ=А; если А – матрица размера , то ЕА=А; если же А – квадратная матрица порядка n, то АЕ=ЕА=А.

Возведение квадратной матрицы в натуральную степень определяется естественным образом: А ² =АА и т.д.

§ Матрица называется транспонированной к матрице , если . При этом используют обозначение . Строки матрицы А^Т, являются столбцами матрицы А и наоборот.

Свойства:

1)

2)

 

Пример. Даны матрицы:

, , .

1) Определить размеры этих матриц; 2) вычислить, если возможно, их попарные произведения; 3) выполнить, если возможно, действия: А+В; 3 А^Т+С; АА^Т+В ².

Решение:

1) А – матрица размера 2´3; В – квадратная матрица порядка 2 (т.е. размера 2´2), С – матрица размера 3´2.

2) Произведение АВ не существует, т.к. число элементов в строке матрицы А не равно числу элементов в столбце матрицы В. Аналогично, не существует произведение ВС.

;

;

; ;

3) Найти сумму А+В невозможно, т.к. не совпадают размеры матриц;

;

.

 

Определители

Основные понятия

§ Определитель или детерминант (determinant) квадратной матрицы порядка n (или просто определитель n -го порядка) – это числовая характеристика этой матрицы, которую обозначают и вычисляют в соответствии со следующим определением:

;

(1)

где числа А _1j называются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов определителя и вычисляются по формулам:

(2)

где алгебраические дополнения А _1j вычисляются аналогично предыдущему.

 

§ Вообще, алгебраическим дополнением А_ij для элемента а_ij называется число , где M_ij – минор элемента а_ij, то есть определитель, полученный из вычеркиванием i -й строки и j -го столбца

Замечание. Вычисление определителя по формулам (1) и (2) называется разложением определителя по первой строке. Любой определитель может быть вычислен с помощью аналогичного разложения по любой строке или столбцу. Понятно, что для разложения определителя выгодно выбирать ту строку (или столбец), в которой содержится наибольшее количество нулевых элементов (конечно, если они есть).

Пример: Вычислить определитель

Решение: Поскольку определитель содержит нулевой элемент во второй строке, выберем ее для разложения определителя:

.

2.2. Свойства определителей

1) Определитель не меняется при его транспонировании: .

Отсюда следует, что любые операции со столбцами определителя эквивалентны аналогичным операциям с его строками.

2) Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

3) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.

4) Умножение какой-либо строки (столбца) определителя на произвольное число равносильно умножению определителя на это число.

Следовательно, общий множитель элементов фиксированной строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

5) Если определитель содержит две одинаковые или

пропорциональные строки, то он равен нулю.

6) Если все элементы какой-либо строки (столбца) представлены в виде суммы, то такой определитель можно представить как сумму двух определителей:

7) Определитель не меняется, если к любой строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на фиксированное число:

8) Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то

 

Пример. Вычислить определитель:

Решение: При разложении данного определителя по любой строке нам придется вычислять 4 определителя 3-го порядка, каждый из которых сводится к трем определителям 2-го порядка, при этом придется оперировать достаточно большими числами. Для упрощения вычислений воспользуемся свойствами 6 и 4:

Для вычисления первого определителя используем свойство 5 (ниже запись l ₂-2 l ₁ означает, что из элементов второй строки определителя мы вычитаем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2 и т.п.) и раскладываем определитель по первому столбцу, в котором оказывается три нулевых элемента:

Поскольку вторая строка полученного определителя равна первой, умноженной на 2, то определитель равен 0.

Далее, аналогичным образом применяем свойство 5 для вычисления второго определителя:

.

Таким образом, искомый определитель D=0.

 

§ Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, в противном случае – невырожденной.

 

 

Обратная матрица

Основные понятия

§ Квадратная матрица А ^-1 называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если имеет место соотношение .

 

Теорема 3.1. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. При этом обратная матрица определяется формулой:

,

где A_ij – алгебраические дополнения к элементам а_ij матрицы А^Т.

 

§ Матрица называется присоединенной для матрицы А.

 

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение.

следовательно, обратная матрица существует. Для ее нахождения запишем матрицу А^Т вычислим алгебраические дополнения к ее элементам:

Таким образом, .

Проверим, является ли найденная матрица действительно обратной для данной матрицы А:

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

 

Решение матричных уравнений

Рассмотрим матричное уравнение:

АХ=В

Пусть А – квадратная невырожденная матрица. Тогда, согласно приведенной выше теореме, существует обратная матрица А ^-1. Умножим обе части данного уравнения на А ^-1 слева (напомним, что произведение матриц не является коммутативной операцией!):

А ^-1 АХ=А ^-1 В Þ ЕХ=А ^-1 В Þ Х=А ^-1 В – решение данного матричного уравнения.

Аналогично, уравнение ХА=В, где А – квадратная невырожденная матрица, имеет решение Х=ВА ^-1 (умножаем обе части уравнения на А ^-1 справа).

 

Пример. Решить матричное уравнение ,

где

Решение:

.

Проверка: .

 

3.3. Метод элементарных преобразований

§ Элементарными преобразованиями строк матрицы А называются:

- умножение одной строки матрицы на число, отличное от 0;

- перемена мест строк;

- сложение строк

- прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число.

 

1) Для того, чтобы по заданной матрице А найти обратную, следует записать так называемую расширенную матрицу:

и при помощи элементарных преобразований строк привести ее к виду

.

2) Для того, чтобы решить матричное уравнение АХ=В, сквадратной невырожденной матрицей А, следует записать расширенную матрицу

и при помощи элементарных преобразований строк привести ее к виду

.

3) Для того, чтобы решить матричное уравнение ХА=В, с квадратной невырожденной матрицей А, следует прежде всего транспонировать это уравнение: А^ТХ^Т=В^Т и при помощи элементарных преобразований строк расширенной матрицы привести ее к виду , после чего транспонировать полученную матрицу Х^Т.

Пример: Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение:

Таким образом, .

 

 

Основные понятия

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными:

(1)

Напомним некоторые определения:

§ СЛАУ называется однородной, если все свободные коэффициенты равны 0: ;

§ Решением СЛАУ называется упорядоченный набор чисел х₁,…,х_n таких, что при их подстановке в уравнения системы последние обращаются в верные тождества;

§ СЛАУ называется совместной, если она имеет решение и несовместной в противном случае.

 

Метод Гаусса решения СЛАУ

§ Две СЛАУ называются эквивалентными (равносильными), если их решения совпадают.

Если в данной СЛАУ поменять местами уравнения, или умножить какое-либо уравнение (обе его части) на число, не равное 0, или заменить одно из уравнений суммой его и какого-либо другого уравнения этой системы, то получится СЛАУ, эквивалентная данной. Такие преобразования являются элементарными преобразованиями системы. Им соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы .

§ Методом Гаусса называется приведение расширенной матрицы системы при помощи элементарных преобразований строк к упрощенному виду, в котором в левой части расширенной матрицы находится верхнетреугольная матрица. После этого из СЛАУ, соответствующей полученной расширенной матрицы, неизвестные легко находятся последовательным вычислением.

Векторное произведение

§ Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый следующим образом:

1) , где j - угол между векторами

2)

3) векторы образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1) (антикоммутативность);

2) ;

3)

4) úï Þ

5) (геометрический смысл векторного произведения):

модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах :

Теорема 5.4. Пусть , . Тогда

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы о скалярном произведении, с поправкой на свойства векторного произведения.

Замечание. Для векторов на плоскости (с двумя координатами) векторное произведение не определено.

 

Пример. Даны векторы: . Найти высоту параллелограмма, построенного на этих векторах, опущенную из конца вектора .

Решение:

Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на данных векторах. С одной стороны, как известно,

.

С другой стороны, воспользовавшись геометрическим смыслом векторного произведения, имеем: .

Найдем векторное произведение:

,

следовательно, .

Кроме того, найдем

Таким образом, .

 

Смешанное произведение

§ Смешанным произведением трех векторов называется число, определяемое соотношением .

Из свойств смешанного произведения особый интерес на практике представляет его геометрический смысл:

Теорема 5.5. Модуль смешанного произведения трех ненулевых векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных из одной точки:

.

Следствие. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Из определения смешанного произведения и теорем о вычислении скалярного и векторного произведений следует следующая теорема:

Теорема 5.6. Пусть , б . Тогда .

 

Пример. Выяснить, лежат ли точки A(5; 7; -2), B(3; 1; -1),

C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) в одной плоскости.

Решение: Данные точки будут лежать в одной плоскости в том и только том случае, если векторы компланарны, что в свою очередь, равносильно утверждению, что смешанное произведение этих векторов равно 0. Проверим, так ли это.

;

,

следовательно, данные точки лежат в одной плоскости.

 

 

§6. Аналитическая геометрия на плоскости

6.1. Уравнения прямых на плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной декартовой системой координат.

ü Общее уравнение прямой

Утверждение. Любая прямая на плоскости описывается уравнением линии первого порядка:

Ax+By+C=0 (А²+В²¹0).

Это значит, что если точка плоскости принадлежит данной прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой и наоборот, если два числа x и y удовлетворяют уравнению прямой, то точка с такими координатами принадлежит соответствующей прямой.

В частности,

если С=0, А¹0, В¹0, то прямая проходит через начало координат;

если А=0, В¹0, С¹0, то прямая параллельна оси Ох;

если В=0, А¹0, С¹0, то прямая параллельна оси Оy;

ось Ох имеет уравнение y= 0; ось Оy имеет уравнение х= 0.

Для того, чтобы написать уравнение прямой, можно использовать различные данные. Соответственно, получаются различные виды уравнения прямой (каждый из которых, тем не менее, можно привести к виду общего уравнения). Собственно, вывод уравнения прямой на плоскости и является доказательством сформулированного выше утверждения.

ü Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть известно, что точка Р₀(х ₀, y ₀) принадлежит прямой, а угол, образованный данной прямой с положительной полуосью Ох, равен a. Составим уравнение прямой.

Пусть точка Р(х, y) – произвольная точка, принадлежащая данной прямой. Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник :

. Обозначив k= tga, получаем уравнение прямой в виде

y-y₀=k(x-x₀), или y =kx+b (b= y₀+kx₀)

Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой, а точку Р₀ – ее начальной точкой.

ü Каноническое уравнение прямой

Пусть точка Р₀(х ₀, y ₀) – начальная точка прямой, а вектор параллелен прямой (он называется ее направляющим вектором).

Точка Р(х, y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Вспомнив свойства координат векторов, запишем это условие в координатной форме:

полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

ü Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Если даны две точки Р₁(x ₁, y ₁), P₂(x ₂, y ₂), принадлежащие прямой, то в качестве направляющего вектора мы можем

выбрать вектор и записать каноническое уравнение:

ü Нормальное уравнение прямой

Пусть Р₀(х ₀, y ₀) – начальная точка прямой, а вектор , перпендикулярен данной прямой (тогда его называют нормальным вектором).

Точка Р(х, y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

.

Полученное уравнение называется нормальным уравнением прямой.

 

ü Взаимное расположение прямых на плоскости

Сравнивая различные виды уравнения прямой на плоскости, легко видеть, что, с точностью до постоянного множителя, А=n ₁= v ₂, B=n ₂=- v ₁.

Пусть даны две прямые

l ₁: A ₁ x+B ₁ y+C ₁ =0; l ₂: A ₂ x+B ₂ y+C ₂ =0. Тогда:

а) l ₁ïç l ₂ Û (в частности, может быть А ₁= А ₂, В ₁= В ₂);

б) l ₁= l ₂ Û ;

в)

(в частности, может быть В ₁= А ₂, В ₂= - А ₁);

г) Точка пересечения прямых определяется системой линейных уравнений:

д) Угол между прямыми равен острому углу между их направляющими векторами, а также острому углу между их нормальными векторами.

Следовательно,

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

l ₁: y=k ₁ x+b ₁; l ₂ y=k ₂ x+b ₂. Тогда:

а) l ₁ïç l ₂ Û k ₁= k ₂;

б) l ₁= l ₂ Û k ₁= k ₂ и b ₁= b ₂;

в) ;

г) Решив совместно данные уравнения, получаем координаты точки пересечения прямых: ;

д) Если , то угол между прямыми , следовательно:

.

 

Пример. Дано общее уравнение прямой l: 2 x -5 y +6=0.

1) выяснить, лежит ли на данной прямой точка А(2; 2);

2) написать для прямой l уравнение с угловым коэффициентом;

3) написать уравнение прямой l ₁, параллельной данной и проходящей через точку В(1; -3);

4) найти проекцию точки В на прямую l.

Решение.

1) Точка А лежит на прямой l Û координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой. Проверим: 2×2-5×2+6=0 – верно. Следовательно, точка А принадлежит данной прямой.

2) Для того, чтобы написать уравнение с угловым коэффициентом, выразим из данного общего уравнения у: .

3) Из общего уравнения прямой l найдем координаты вектора . Пусть , тогда ïê . В частности, можно считать, что . Тогда запишем уравнение прямой l ₁ с перпендикулярным вектором, проходящей через точку В: 2(х -1)-5(y +3)=0. Таким образом,

l ₁: 2 x -5 y- 17=0.

4) Сначала решим эту задачу на чертеже. Проведем через точку В прямую l ₂, перпендикулярную прямой l и найдем пересечение прямых l и l ₂.

 

Найденная точка N и будет искомой проекцией точки В на прямую l. Теперь проделаем те же действия в аналитической форме.

Найдем уравнение прямой l ₂. Поскольку , то êê ; пусть . Запишем уравнение прямой l ₂, проходящей через точку В, с направляющим вектором:

, откуда получаем общее уравнение .

Найдем точку пересечения , решив систему уравнений

Таким образом, искомая точка .

 

Матрицы и действия над ними

Основные понятия

§ Матрицей размера называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов:

Элементами матрицы a_ij могут быть, например, действительные или комплексные числа, функции или другие объекты. Условная запись a_ij обозначает элемент матрицы А, стоящий в i -й строке и j -м столбце.

§ Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. Элементы a_ii квадратной матрицы называют элементами главной диагонали.

Пример: - матрица размера ;

а ₁₁=1, а ₁₂=0, а ₁₃=-2, а ₂₁=3, а ₂₂=-1, а ₂₃=1.

§ Матрицы одного размера называются равными, если равны их соответствующие элементы, то есть .

§ Матрица А называется нулевой, если все ее элементы . Обозначают: А=0.

§ Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0.

§ Диагональная матрица называется единичной, если . Единичную матрицу обозначают: .

§ Квадратная матрица называется треугольной, если равны 0 все элементы под ее главной диагональю (верхнетреугольная матрица) или над главной диагональю (нижнетреугольная матрица):

Действия над матрицами

§ Суммой двух матриц и одного размера называется матрица того же размера, где

Легко видеть, что А+В=В+А и А+0=А.

§ Произведением матрицы на число l называется матрица того же размера, где .

Свойства:

1) А + В = В + А (коммутативность сложения матриц)

2) (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С (ассоциативность сложения)

3) А+0=0+А

4) a(А+В)= aА+aВ

5) (a+b)А=aА+bА

 

§ Произведением матриц А размера и В размера называется матрица С=АВ размера , где

.

Говорят, что элемент с _ij получен в результате умножения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В:

,

причем такое произведение можно составить потому, что строки матрицы А и столбцы матрицы В содержат одинаковое число элементов. Если это не так, то матрицы перемножить нельзя.

Отметим, что, вообще говоря, (может даже быть так, что произведение АВ существует, а ВА – нет).

Свойства:

1) (отсутствие коммутативности умножения матриц)

2) А(ВС)=(АВ)С (ассоциативность умножения)

3) a(АВ)=(aА)В=А(aВ)

4) (ab)А=a(bА)=b(aА)

5) (А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ (дистрибутивность)

 

Легко видеть, что если Е – единичная матрица порядка n и А – матрица размера , то АЕ=А; если А – матрица размера , то ЕА=А; если же А – квадратная матрица порядка n, то АЕ=ЕА=А.

Возведение квадратной матрицы в натуральную степень определяется естественным образом: А ² =АА и т.д.

§ Матрица называется транспонированной к матрице , если . При этом используют обозначение . Строки матрицы А^Т, являются столбцами матрицы А и наоборот.

Свойства:

1)

2)

 

Пример. Даны матрицы:

, , .

1) Определить размеры этих матриц; 2) вычислить, если возможно, их попарные произведения; 3) выполнить, если возможно, действия: А+В; 3 А^Т+С; АА^Т+В ².

Решение:

1) А – матрица размера 2´3; В – квадратная матрица порядка 2 (т.е. размера 2´2), С – матрица размера 3´2.

2) Произведение АВ не существует, т.к. число элементов в строке матрицы А не равно числу элементов в столбце матрицы В. Аналогично, не существует произведение ВС.

;

;

; ;

3) Найти сумму А+В невозможно, т.к. не совпадают размеры матриц;

;

.

 

Определители

Основные понятия