Этот метод применим для любых СЛАУ, в том числе вырожденных и прямоугольных.

 

Пример 1.

Решение:

Последняя строка полученной расширенной матрицы соответствует уравнению

;

далее, из второй строки получаем:

;

наконец, из первой строки:

.

Таким образом, система имеет единственное решение (1; -1; 2).

 

Пример 2.

Решение. Поскольку ни один коэффициент в первом столбце не является единицей, что было бы удобно для обнуления остальных коэффициентов, мы можем предварительно получить нужную единицу, например, вычтя из первой строки расширенной матрицы вторую строку:

Последняя строка полученной расширенной матрицы соответствует тривиальному уравнению:

.

Это уравнение является тождеством при любых значениях переменных. Следовательно, мы не можем, как в предыдущем примере, определить из этого уравнения значение переменной z в решении системы. Она может принимать любые действительные значения: . Заметим, что в таком случае эту переменную принято называть свободной.

Далее, из второй строки:

,

и из первой строки:

.

Таким образом, система имеет бесконечно много решений вида

.

 

Пример 3.

Решение.

последняя строка соответствует уравнению

, которое не является тождеством ни при каких значениях переменных. Следовательно, данная система не имеет решений, то есть противоречива.

ТЕМА II – ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§5. Векторы

5.1. Основные понятия

§ Рассмотрим направленный отрезок прямой на плоскости или в пространстве, пусть А – начальная точка этого отрезка, В – конечная

точка. Такой отрезок называется вектором и обозначается . Точки А и В называются началом и концом вектора соответственно. Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора: .

Для того, чтобы задать вектор, необходимо указать:

1) прямую, на которой лежит вектор или которой он параллелен;

2) направление (ориентацию) вектора на этой прямой;

3) длину вектора.

Один и тот же вектор может быть отложен от любой точки пространства при помощи параллельного переноса, при этом сохраняются все три указанные характеристики этого вектора.

§ Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают:

§ Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных или совпадающих прямых, обозначают úï .

§ Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарны и одинаково направлены.

§ Векторы называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину, обозначают .

Заметим, что от любой точки пространства можно отложить вектор , равный данному, и при этом только один.

§ Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

 

5.2. Операции над векторами

§ Суммой двух векторов называется вектор , построенный по правилу параллелограмма или треугольника:

 

 

 

Из правила треугольника сложения векторов следует правило их вычитания: действительно, если , то .

§ Произведением вектора на число l называется вектор , коллинеарный вектору , длиной , который сонаправлен с вектором , если l>0 и противоположно направлен, если l<0.

§ Любому ненулевому вектору можно поставить в соответствие орт , имеющий единичную длину и направление которого совпадает с направлением вектора .

Свойства:

1)

2)

3)

4)

5)

Теорема 5.1. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда для некоторого l.

Пример. В треугольнике АВС точки M, N, K – середины сторон АВ, АС, ВС соответственно. Найти векторы , если .

Решение: По условию, . Применяя правило вычитания, находим:

, .

Далее, AK - половина диагонали параллелограмма, сторонами которого являются отрезки АВ и АС (так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, по правилу параллелограмма сложения векторов, имеем .

 

 

5.3. Координаты векторов

Рассмотрим трехмерное пространство.

§

y

Ортонормированным репером в трехмерном пространстве называется совокупность начальной точки О и векторов , таких, что:

1) (единичные векторы),

2) (попарно перпендикулярные),

3) векторы образуют правую тройку векторов, то есть из конца вектора поворот от вектора к вектору виден в положительном направлении – против часовой стрелки.

В таком случае обычная декартова система координат соответствует заданному ортонормированному реперу, так что направления осей Ох, Оу, Oz совпадают с направлениями базисных векторов .

Рассмотрим теперь произвольный вектор в трехмерном пространстве.

§ Координатами вектора называются его проекции а₁, а₂, а₃ на оси координат. Обозначают: .

Отметим, что если вектор отложен от начала координат, то его координаты совпадают с координатами конца этого вектора.

 

Применив дважды правило параллелограмма, замечаем, что

.

§ Это соотношение называется разложением вектора по базису .

Свойства:

Пусть , . Тогда

1)

2)

3)

4)

Теорема 5.2. Пусть точка А имеет координаты (x_A, y_A, z_A), точка В(x_В, y_В, z_В). Тогда

.

Для доказательства достаточно заметить, что , причем .

Замечание. Координаты вектора не изменятся, если этот вектор отложить от любой другой точки пространства.

Доказательство этого факта предоставим читателю.

Многие геометрические задачи на плоскости и в пространстве легко решаются с помощью векторов. При этом надо все условия задачи, сформулированные для точек и отрезков (а в дальнейшем – и углов) переформулировать для векторов, а затем перевести в координатную форму. Если рассматривается задача на плоскости, то и точки, и векторы имеют 2 координаты, и все сформулированные выше свойства имеют место для первых двух координат.

 

Пример 1: Точка М делит пополам отрезок АВ, где А(x_A, y_A, z_A),

В(x_В, y_В, z_В). Найти координаты точки М.

Решение: Для решения этой задачи используем векторы.

Точка М лежит на отрезке АВ Û úï , причем эти векторы сонаправлены.

Кроме того, по условию, . Следовательно, .

Обозначим координаты точки М (x_М, y_М, z_М). Тогда , .

Используя свойство 2) координат, имеем:

, откуда выражаем

.

 

Пример 2. Даны точки: A(1; 0), B(4; 2), C(2; 5). Найти точку пересечения медиан треугольника АВС.

Решение: Как известно, все медианы треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим эту искомую точку К(x_K, y_K) и рассмотрим две медианы: BN и CM.

Найдем сначала координаты точек N и M как середин сторон АВ и АС (см. Пример 1).

Точка М – середина отрезка АВ Þ . Аналогично, .

Следовательно, можем найти координаты векторов:

Точка КÎСМ Û úï Û (свойство 4). Аналогично,

точка КÎBN Û úï Û .

Таким образом, мы получили два линейных уравнения с двумя неизвестными – координатами точки К. Решаем полученную систему:

Þ .

Таким образом, искомая точка .

5.4. Скалярное произведение векторов

§ Скалярным произведением двух векторов называется число

(где j - угол между векторами , отложенными из одной точки).

Свойства:

1) для любых векторов

2) для любых векторов и числа l

3) для любых векторов

4)

5) (при этом считается, что нулевой вектор перпендикулярен любому)

6) .

Теорема 5.3. Пусть , . Тогда

.

Доказательство: Воспользуемся разложением векторов по базису и свойствами скалярного произведения:

.

Последнее равенство следует из того, что

(т.к. ) и т.п.

Следствие. .

Замечание. Для векторов на плоскости, соответственно,

и .

 

Пример 1. Найти угол между векторами

Решение: ,

.

 

Пример 2. .

Найти .

Решение: Используем свойства скалярного произведения:

.

 

Пример. Даны точки: А(-2; 1), В(3; 0), С(1; 4). Найти основание высоты треугольника АВС, проведенной из точки В.

Решение: Точка N(x_N, y_N) Î АС Þ ïê Þ ;

BN – высота треугольника, то есть Þ Þ .

 

 

Получили два линейных уравнения относительно координат:

Þ .

Таким образом, искомая точка N(0; 3).

 

 

Векторное произведение

§ Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый следующим образом:

1) , где j - угол между векторами

2)

3) векторы образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1) (антикоммутативность);

2) ;

3)

4) úï Þ

5) (геометрический смысл векторного произведения):

модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах :

Теорема 5.4. Пусть , . Тогда

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы о скалярном произведении, с поправкой на свойства векторного произведения.

Замечание. Для векторов на плоскости (с двумя координатами) векторное произведение не определено.

 

Пример. Даны векторы: . Найти высоту параллелограмма, построенного на этих векторах, опущенную из конца вектора .

Решение:

Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на данных векторах. С одной стороны, как известно,

.

С другой стороны, воспользовавшись геометрическим смыслом векторного произведения, имеем: .

Найдем векторное произведение:

,

следовательно, .

Кроме того, найдем

Таким образом, .

 

Смешанное произведение

§ Смешанным произведением трех векторов называется число, определяемое соотношением .

Из свойств смешанного произведения особый интерес на практике представляет его геометрический смысл:

Теорема 5.5. Модуль смешанного произведения трех ненулевых векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных из одной точки:

.

Следствие. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Из определения смешанного произведения и теорем о вычислении скалярного и векторного произведений следует следующая теорема:

Теорема 5.6. Пусть , б . Тогда .

 

Пример. Выяснить, лежат ли точки A(5; 7; -2), B(3; 1; -1),

C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) в одной плоскости.

Решение: Данные точки будут лежать в одной плоскости в том и только том случае, если векторы компланарны, что в свою очередь, равносильно утверждению, что смешанное произведение этих векторов равно 0. Проверим, так ли это.

;

,

следовательно, данные точки лежат в одной плоскости.

 

 

§6. Аналитическая геометрия на плоскости

6.1. Уравнения прямых на плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной декартовой системой координат.

ü Общее уравнение прямой

Утверждение. Любая прямая на плоскости описывается уравнением линии первого порядка:

Ax+By+C=0 (А²+В²¹0).

Это значит, что если точка плоскости принадлежит данной прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой и наоборот, если два числа x и y удовлетворяют уравнению прямой, то точка с такими координатами принадлежит соответствующей прямой.

В частности,

если С=0, А¹0, В¹0, то прямая проходит через начало координат;

если А=0, В¹0, С¹0, то прямая параллельна оси Ох;

если В=0, А¹0, С¹0, то прямая параллельна оси Оy;

ось Ох имеет уравнение y= 0; ось Оy имеет уравнение х= 0.

Для того, чтобы написать уравнение прямой, можно использовать различные данные. Соответственно, получаются различные виды уравнения прямой (каждый из которых, тем не менее, можно привести к виду общего уравнения). Собственно, вывод уравнения прямой на плоскости и является доказательством сформулированного выше утверждения.

ü Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть известно, что точка Р₀(х ₀, y ₀) принадлежит прямой, а угол, образованный данной прямой с положительной полуосью Ох, равен a. Составим уравнение прямой.

Пусть точка Р(х, y) – произвольная точка, принадлежащая данной прямой. Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник :

. Обозначив k= tga, получаем уравнение прямой в виде

y-y₀=k(x-x₀), или y =kx+b (b= y₀+kx₀)

Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой, а точку Р₀ – ее начальной точкой.

ü Каноническое уравнение прямой

Пусть точка Р₀(х ₀, y ₀) – начальная точка прямой, а вектор параллелен прямой (он называется ее направляющим вектором).

Точка Р(х, y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Вспомнив свойства координат векторов, запишем это условие в координатной форме:

полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

ü Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Если даны две точки Р₁(x ₁, y ₁), P₂(x ₂, y ₂), принадлежащие прямой, то в качестве направляющего вектора мы можем

выбрать вектор и записать каноническое уравнение:

ü Нормальное уравнение прямой

Пусть Р₀(х ₀, y ₀) – начальная точка прямой, а вектор , перпендикулярен данной прямой (тогда его называют нормальным вектором).

Точка Р(х, y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

.

Полученное уравнение называется нормальным уравнением прямой.

 

ü Взаимное расположение прямых на плоскости

Сравнивая различные виды уравнения прямой на плоскости, легко видеть, что, с точностью до постоянного множителя, А=n ₁= v ₂, B=n ₂=- v ₁.

Пусть даны две прямые

l ₁: A ₁ x+B ₁ y+C ₁ =0; l ₂: A ₂ x+B ₂ y+C ₂ =0. Тогда:

а) l ₁ïç l ₂ Û (в частности, может быть А ₁= А ₂, В ₁= В ₂);

б) l ₁= l ₂ Û ;

в)

(в частности, может быть В ₁= А ₂, В ₂= - А ₁);

г) Точка пересечения прямых определяется системой линейных уравнений:

д) Угол между прямыми равен острому углу между их направляющими векторами, а также острому углу между их нормальными векторами.

Следовательно,

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

l ₁: y=k ₁ x+b ₁; l ₂ y=k ₂ x+b ₂. Тогда:

а) l ₁ïç l ₂ Û k ₁= k ₂;

б) l ₁= l ₂ Û k ₁= k ₂ и b ₁= b ₂;

в) ;

г) Решив совместно данные уравнения, получаем координаты точки пересечения прямых: ;

д) Если , то угол между прямыми , следовательно:

.

 

Пример. Дано общее уравнение прямой l: 2 x -5 y +6=0.

1) выяснить, лежит ли на данной прямой точка А(2; 2);

2) написать для прямой l уравнение с угловым коэффициентом;

3) написать уравнение прямой l ₁, параллельной данной и проходящей через точку В(1; -3);

4) найти проекцию точки В на прямую l.

Решение.

1) Точка А лежит на прямой l Û координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой. Проверим: 2×2-5×2+6=0 – верно. Следовательно, точка А принадлежит данной прямой.

2) Для того, чтобы написать уравнение с угловым коэффициентом, выразим из данного общего уравнения у: .

3) Из общего уравнения прямой l найдем координаты вектора . Пусть , тогда ïê . В частности, можно считать, что . Тогда запишем уравнение прямой l ₁ с перпендикулярным вектором, проходящей через точку В: 2(х -1)-5(y +3)=0. Таким образом,

l ₁: 2 x -5 y- 17=0.

4) Сначала решим эту задачу на чертеже. Проведем через точку В прямую l ₂, перпендикулярную прямой l и найдем пересечение прямых l и l ₂.

 

Найденная точка N и будет искомой проекцией точки В на прямую l. Теперь проделаем те же действия в аналитической форме.

Найдем уравнение прямой l ₂. Поскольку , то êê ; пусть . Запишем уравнение прямой l ₂, проходящей через точку В, с направляющим вектором:

, откуда получаем общее уравнение .

Найдем точку пересечения , решив систему уравнений

Таким образом, искомая точка .