Кривые второго порядка на плоскости

§ Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Если выбрать систему координат на плоскости так, чтобы начало координат совпадало с центром окружности, то ее уравнение будет выглядеть так:

,

где R – радиус окружности.

 

 

§ Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (которая больше, чем расстояние между фокусами).

Если система координат расположена по отношению к эллипсу так, чтобы фокусы эллипса находились на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F₁(c;0) и F₂(-c;0), то этот эллипс будет описываться каноническим уравнением:

(1) , (a > b)

где а – большая полуось, b – малая полуось эллипса, сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов равна 2 а, причем a ²= b ²+ c ².

Точки А₁(а;0), А₂(-а;0), B₁(b;0), B₂(-b;0) называют вершинами эллипса. Эллипс – центральносимметричная фигура; его центр в рассматриваемом случае совпадает с началом координат.

Для того, чтобы изобразить эллипс, описываемый уравнением (1) в системе координат, удобно сначала начертить так называемый осевой прямоугольник, отмеченный на чертеже пунктирной линией, а затем вписать в него эллипс.

Отметим, что, если в уравнении вида (1) b > a, то b – большая полуось и эллипс расположен «вертикально», т.е. его фокусы находятся на оси Оу.

Величина называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его «сплюснутость». Если e = 0, то с = 0, a = b, в этом случае эллипс превращается в окружность. Если e =1, то с=а, следовательно, b =0, и эллипс вырождается в отрезок F₁F₂.

Взаимное расположение точки М ₁(х ₁; у ₁) и эллипса (1) определяется следующими условиями:

если , то точка лежит на эллипсе; если , то точка лежит внутри эллипса; если , то точка лежит вне эллипса.

§ Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (которая меньше, чем расстояние между фокусами).

Если поместить фокусы гиперболы в точках F₁(c;0) и F₂(-c;0), то эта гипербола будет описываться каноническим уравнением:

(2) ,

где b ²= c ²- a ²; 2 a – постоянная величина из определения гиперболы. Эксцентриситет гиперболы .

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А ₁(а;0) и А ₂(- а;0) называются вершинами гиперболы, отрезок А ₁ А ₂ называется действительной осью гиперболы, а отрезок В ₁ В ₂ (где В ₁(b;0),

B ₂(- b;0)) – мнимой осью. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . Как и эллипс, гипербола – центральносимметричная фигура; ее центр в данном случае совпадает с началом координат.

Для того, чтобы изобразить гиперболу (2) в системе координат, следует вначале построить осевой прямоугольник (изображен пунктирной линией). Далее, проводят асимптоты гиперболы – прямые, соединяющие противоположные вершины этого прямоугольника. Затем строят симметричные ветви гиперболы, которые проходят через вершины, касаются осевого прямоугольника и приближаются к асимптотам, но не пересекают их.

Уравнение

(3)

также является уравнением гиперболы, но действительной ее осью служит отрезок В ₁ В ₂ оси Оу, так что эта гипербола расположена «вертикально».

Гиперболы (2) и (3), у которых одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но мнимая ось одной гиперболы служит действительной осью для другой, называют сопряженными.

§ Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка F(p/2;0), то уравнение параболы имеет вид

(4) .

Эта парабола расположена симметрично относительно оси Ох.

Точка пересечения параболы и ее оси симметрии (в рассматриваемом случае – начало координат) называется вершиной параболы.

Уравнение

(5) .

является уравнением «вертикальной» параболы, которая симметрична относительно оси Оу. Если p >0, то ветви параболы обращены в положительную сторону оси (вправо и вверх соответственно), при p <0 – в отрицательную сторону (влево и вниз).

 

§ Общий вид уравнения кривой второго порядка на плоскости следующий:

(6) Ах ²+ Вху + Су ²+ Dx + Ey + F =0.

При помощи параллельного переноса и поворота осей координат, любое уравнение вида (6) можно привести к каноническому виду, получив в новой системе координат одно из следующих уравнений (в скобках указаны кривые, задаваемые этими уравнениями):

(эллипс)

(вырожденный эллипс - единственная точка (0;0))

(мнимый эллипс, которому не принадлежит ни одна точка плоскости)

или (гиперболы)

(две прямые: )

или (параболы)

или , (две прямые: или )

или , a >0 (мнимые прямые, которым не принадлежит ни одна точка плоскости)

В частности, если уравнение кривой второго порядка (6) не содержит слагаемого Вху, то оно приводится к каноническому виду путем выделения полных квадратов. Например, уравнение описывает эллипс, центр которого смещен из начала координат в точку (х ₀; у ₀).

 

 

Пример 1. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями х - у +1=0, х +5 у +13=0, 2 х + у -1=0.

Решение. Найдем координаты вершин треугольника – точек пересечения данных прямых. Для этого решим три системы уравнений:

Получаем точки А (-3;-2), В (0;1), С (2;-3).

Будем искать уравнение окружности в общем виде, т.е.

(х-а)²+(у-b)²= R ².

Поскольку искомая окружность должна быть описана около треугольника АВС, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Подставляя поочередно координаты всех трех точек уравнение окружности, получаем три уравнения относительно неизвестных параметров a, b, R:

Преобразуем систему:

откуда .

Таким образом, искомое уравнение имеет вид .

 

Пример 2. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип задаваемой им кривой, построить: 16 х ²+25 у ²-32 х +50 у -359=0.

Решение. Выделим в левой части данного уравнения полные квадраты:

16 х ²-32 х =16(х ²-2 х)=16(х ²-2 х +1-1)=16(х -1)²-16,

25 у ²+50 у =25(у +1)²-25.

Перенеся свободный коэффициент в правую часть уравнения, получаем:

16(х-1)²+25(у+1)²=400.

Для того, чтобы привести это уравнение к каноническому виду, разделим обе части уравнения на 400:

Получили уравнение эллипса с центром в точке (1;-1) и полуосями а =5, b =4. Построим его:

 

 

§7. Аналитическая геометрия в пространстве

7.1. Уравнение плоскости в пространстве

Рассмотрим трехмерное пространство с заданной декартовой системой координат.

ü Общее уравнение плоскости

Утверждение. Любая плоскость в трехмерном пространстве описывается уравнением первого порядка: Ах+Ву+Cz+D =0 (A ²+ B ²+ C ²¹0)

В частности, если D =0, то плоскость проходит через начало координат; плоскость хОу имеет уравнение z =0; плоскость xOz имеет уравнение y =0; плоскость yOz имеет уравнение х =0.

ü Нормальное уравнение плоскости

Пусть известна точка М ₀(х ₀; у ₀; z ₀), принадлежащая плоскости (начальная точка) и ненулевой вектор , перпендикулярный этой плоскости (его называют нормальным вектором плоскости).

Произвольная точка пространства М (х; у; z) принадлежит данной плоскости тогда и только тогда, когда , то есть . Записывая скалярное произведение в координатной форме, получаем нормальное уравнение плоскости:

Если в этом уравнении раскрыть скобки, получится общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Cz+D =0 (где D=-Ax ₀ -By ₀ -Cz ₀). Этот факт и доказывает сформулированное выше утверждение.

ü Уравнение плоскости по трем точкам

Пусть даны три точки, принадлежащие плоскости: М ₁(х ₁; у ₁; z ₁), M ₂(x ₂; y ₂; z ₂), M ₃(x ₃; y ₃; z ₃).

Произвольная точка пространства М (х; у; z) принадлежит данной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. Таким образом, получаем уравнение данной плоскости в виде:

;

раскрыв определитель по первой строке, получаем общее уравнение плоскости.

Аналогично, если дана точка М ₀(х ₀; у ₀; z ₀), принадлежащая плоскости (начальная точка) и два вектора , параллельные этой плоскости, то уравнение плоскости записывают в виде

 

 

7.2. Уравнения прямой в пространстве

ü Общее уравнение прямой

Пусть прямая задана как пересечение двух плоскостей: , где

,

.

Тогда система задает множество точек прямой и называется общим уравнением прямой.

ü Канонические уравнения прямой

Пусть задана начальная точка прямой Р ₀(х ₀, y ₀, z ₀)Î l и направляющий вектор .

Тогда , откуда получаем уравнения прямой в виде

.

Аналогичным образом составляются канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки Р₁ и Р₂, так что в качестве направляющего вектора можно выбрать вектор .

ü Параметрические уравнения прямой

Введение коэффициента пропорциональности t в канонические уравнения прямой позволяет записать ее параметрические уравнения:

Эти уравнения означают, что для каждой точки прямой существует значение параметра t через который выражаются координаты этой точки и наоборот, для каждого значения t точка с соответствующими координатами принадлежит прямой.

Применение этих уравнений удобно, например, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

 

 

7.3. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Пусть прямые и плоскости заданы своими уравнениями:

, ,

, .

Заметим, что эти уравнения позволяют нам выписать нормальные векторы данных плоскостей: , направляющие векторы прямых: и начальные точки прямых: .

Тогда:

а) ;

б) ;

в) углом между плоскостями называется острый угол между их нормальными векторами:

г)

(в частности, может быть );

д) ;

е)

(в частности, может быть );

ж) компланарны

;

 

з) углом между прямыми называется острый угол между их направляющими векторами: ;

и) угол между прямой l ₁ и плоскостью p ₁ равен углу между прямой и ее проекцией на плоскость, но удобнее его находить при помощи угла между прямой и перпендикуляром к плоскости:

.

Пример. Найти точку Q, симметричную точке P (10; -5; 6) относительно плоскости a, в которой лежат прямые

Решение: Прежде всего, найдем уравнение плоскости a. Эта плоскость проходит через точку М₁(-1; 3; 2) параллельно двум векторам и , следовательно, ее уравнение имеет вид:

.

Раскрыв определитель по первой строке, получаем:

,

далее, сократим на 4 и раскроем скобки:

.

Для того, чтобы найти точку, симметричную данной относительно плоскости, необходимо опустить из точки Р на плоскость a перпендикуляр l, затем найти точку N пересечения полученной прямой и плоскости и отложить на этой прямой отрезок NQ, равный от резку PN.

Поскольку , то в качестве направляющего вектора прямой мы можем выбрать нормальный вектор плоскости, координаты которого находятся из уравнения плоскости: . Следовательно, уравнение перпендикуляра:

.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости , запишем уравнения прямой l в параметрической форме и подставим в уравнение плоскости a:

;

.

Таким образом, координаты точки N:

.

Далее, точка N является серединой отрезка PQ, следовательно, ,

аналогично .

Таким образом, Q (-14; 7; -2).

 

 

7.4. Поверхности второго порядка

В общем виде поверхность второго порядка в трехмерном пространстве задается алгебраическим уравнением второго порядка:

.

Как и в случае кривых второго порядка на плоскости, при помощи параллельного переноса и поворота осей системы координат такое уравнение сводится к одному из канонических уравнений, а поверхность принадлежит к одному из типов, описанных ниже (либо вырождается в точку, две прямые, две плоскости или мнимую поверхность).

ü Эллипсоид

На примере эллипсоида опишем процесс построения поверхности. Для этого применяется метод линий уровня, то есть линий пересечения поверхности с плоскостями, параллельными, например, плоскости хОу.

При z =0 (т.е. в плоскости хОу) получаем - эллипс с полуосями a, b.

При z =const, (в плоскостях, параллельных хОу) получаем - эллипсы с полуосями, меньшими чем a, b.

При получаем - точка (0; 0).

При z =const, получаем мнимые эллипсы, то есть пересечений с поверхностью нет.

Итак, линии уровня данной поверхности – эллипсы. Для того, чтобы окончательно выяснить, как выглядит поверхность, найдем пересечения с плоскостями xOz и yOz.

При y =0 получаем - эллипс с полуосями а, с.

При х =0 получаем - эллипс с полуосями b, c.

 

 

ü Однополостной гиперболоид

ü Двуполостной гиперболоид

 

ü Конус

ü Эллиптический параболоид

 

ü Гиперболический параболоид

 

 

 

ü Эллиптический цилиндр

Цилиндрические поверхности – поверхности, образованные прямыми, параллельными некоторой оси. Уравнение такой поверхности не содержит переменной, соответствующей этой оси. Для того, чтобы построить цилиндрическую поверхность, надо построить образующую, которую задает данное уравнение в одной из координатных плоскостей и восстановить над ней цилиндр.

Эллиптический цилиндр задается уравнением

образующая этой поверхности – эллипс в плоскости xOy и прямые, параллельные оси Oz.

 

 

ü Гиперболический цилиндр

ü Параболический цилиндр