Прямая линия на плоскости. различные уравнения прямой.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Прямая линия на плоскости. различные уравнения прямой.



Векторы и операция над ними

Определение вектора

Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.

Определение 1 Вектором называется направленный отрезок.

Таким образом, вектор - это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: . В двух последних случаях -- обозначение точки, являющейся началом вектора, -- концом вектора. В тексте этого учебника будут использоватся первое и последнее из перечисленных обозначений.

Рис.1.Изображение векторов

Определение 2. Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.

Если считать, что на рисунке 1 векторы лежат в одной плоскости, тоа=с, то есть a и c -- разные обозначения одного и того же вектора. Векторы a и при равных длинах не равны друг другу, так как имеют разные направления. В соответствии с введенным равенством векторов слова "вектор параллелен прямой (плоскости)" и "вектор лежит на прямой (плоскости)" означают одно и то же, так как направленный отрезок можно передвинуть параллельно самому себе, вектор при этом не изменится.

Определение 3 Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

Определение 4 Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Определение 5 Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

Модуль вектора a обозначается . Вектор a называется единичным, если .

К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.

В соответствии с принятыми выше обозначениями следовало бы нулевой вектор обозначать 0, но принято обозначать 0. По контексту всегда ясно, чем является 0, числом или вектором.

Операции над векторами

Определение 6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 2).

Рис. 2.Сложение векторов

Сложение векторов в соответствии с рисунком 2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Рис. 3.Правило треугольника

 

Определение 7 Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и . Вектор, противоположный вектору a, обозначается -а, то есть .

Определение 8 Разностью векторов a и b называется сумма .

Разность обозначается , то есть .

Определение 9 Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

1) и, если , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Произведение вектора a на число обозначается (рис 4).

Рис. 4.Умножение вектора на число

Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.

Теорема 1 Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства:

1) (свойство коммутативности операции сложения);
2) (свойство ассоциативности операции сложения);

3) ;

4) ;

5) (свойство ассоциативности по отношению к числам);

6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);

7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;

8) .

Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 5.

Рис. 5.Ассоциативность сложения

 

Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы и коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа и одного знака, и направление, противоположное вектору a, если и разного знака. Следовательно, .

 

 

Свойство 6 очевидно, если . Если и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 6.

Рис.6.Свойство дистрибутивности

 

Случаи, когда или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы и коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что (в противном случае поменяем местами и в доказываемом равенстве).

Пусть и одного знака. Тогда , .

Пусть и имеют разные знаки. Тогда , . Получили, что в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при и противоположно при . Следовательно, . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения 10.9 произведения вектора на число.

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 7.

Рис. 7.Сумма нескольких слагаемых

Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:

9) равенство верно тогда и только тогда, когда или , или ;

10) вектор, противоположный вектору a, равен , то есть ;

11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что

 

 

Линии второго порядка.

Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,

не распадающиеся линии:

— эллипсы,

— гиперболы,

y2 = 2px — параболы,

— мнимые эллипсы;

распадающиеся линии:

— пары пересекающихся прямых,

— пары мнимых пересекающихся прямых,

x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых,

x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

Поверхность второго порядка

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

(1)

где - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

1. Сфера

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема. Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение

 

2. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где , , -- положительные числа.

Рис. Эллипсоид

3. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где , , -- положительные числа.

Рис. Однополостный гиперболоид

5. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где , , -- положительные числа.

Рис. Изображение конуса с помощью сечений

6. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где и -- положительные числа.

Рис. Эллиптический параболоид

7. Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.

Рассмотрим уравнение вида

и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Пусть -- некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению. Поскольку в это уравнение не входит явно переменная , ему будут удовлетворять координаты всех точек , где -- любое число. Следовательно, при любом точка лежит на поверхности, определяемой уравнением. Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку параллельно оси . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением , составлена из прямых, параллельных оси , то есть она является цилиндрической поверхностью.

Заметим, что на плоскости уравнение определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением называется параболическим цилиндром.

4 ?. Евкливоды п-мерные пространства

Если координаты векторов

и

заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычисляется по формуле

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в -мерном пространстве.

Пусть -- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами:

Скалярное произведение векторов, обозначается оно обычно , задается формулой (1)

В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно. Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (1).

Если , -- координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать формулой

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (1)

Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

то есть

В трехмерном пространстве с помощью скалярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Если -- комплексное линейное -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

где черта над означает комплексное сопряжение.

Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

Аксиоматический метод.

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.

Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах.

После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы".

 

 

18-19. Скалярные величины (длина отрезка, площадь многоугольника). Теорема о существования и единственности.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка так что:1) равные отрезки имеют разные длины;2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n раз, то тогда а=n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка, а есть бесконечная десятичная дробь. Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n , n , ... то взяв его приближение с определённой точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n …

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади используется при её определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других ограниченных выпуклых фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел вращения и так далее. В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура F составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:

I/ равные фигуры имеют равные площади;

2/ если фигура составлена из конечного числа фигур, тоеёплощадь равна сумме их площадей. Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e . Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m .

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S(F)=x e .Число x называют численным значением площади при выбранной единице площади.

Существование и единственность перпендикуляра к прямой

Теорема.
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство
Пусть a – данная прямая и не лежащая на этой прямой точка A. Проведем через какую-нибудь точку прямой a перпендикулярную ей прямую с. Прямая с пересекает прямую a в точке С. Теперь проведем параллельно прямой с прямую b, так чтобы что бы прямая b проходила через точку A. Тогда прямая b a, так как b||с и с a.

Значит отрезок AB a.

Теперь докажем единственность перпендикуляра AB.
Допустим, существует еще перпендикуляр, проходящий через точку A к прямой a. Тогда у треугольника ABD будет два угла по 90°. А этого не может быть, так как сумма всех углов в треугольнике 180 °. Теорема доказана.

 

 

Векторы и операция над ними

Определение вектора

Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.

Определение 1 Вектором называется направленный отрезок.

Таким образом, вектор - это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: . В двух последних случаях -- обозначение точки, являющейся началом вектора, -- концом вектора. В тексте этого учебника будут использоватся первое и последнее из перечисленных обозначений.

Рис.1.Изображение векторов

Определение 2. Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.

Если считать, что на рисунке 1 векторы лежат в одной плоскости, тоа=с, то есть a и c -- разные обозначения одного и того же вектора. Векторы a и при равных длинах не равны друг другу, так как имеют разные направления. В соответствии с введенным равенством векторов слова "вектор параллелен прямой (плоскости)" и "вектор лежит на прямой (плоскости)" означают одно и то же, так как направленный отрезок можно передвинуть параллельно самому себе, вектор при этом не изменится.

Определение 3 Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

Определение 4 Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Определение 5 Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

Модуль вектора a обозначается . Вектор a называется единичным, если .

К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.

В соответствии с принятыми выше обозначениями следовало бы нулевой вектор обозначать 0, но принято обозначать 0. По контексту всегда ясно, чем является 0, числом или вектором.

Операции над векторами

Определение 6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 2).

Рис. 2.Сложение векторов

Сложение векторов в соответствии с рисунком 2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Рис. 3.Правило треугольника

 

Определение 7 Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и . Вектор, противоположный вектору a, обозначается -а, то есть .

Определение 8 Разностью векторов a и b называется сумма .

Разность обозначается , то есть .

Определение 9 Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

1) и, если , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Произведение вектора a на число обозначается (рис 4).

Рис. 4.Умножение вектора на число

Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.

Теорема 1 Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства:

1) (свойство коммутативности операции сложения);
2) (свойство ассоциативности операции сложения);

3) ;

4) ;

5) (свойство ассоциативности по отношению к числам);

6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);

7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;

8) .

Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 5.

Рис. 5.Ассоциативность сложения

 

Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы и коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа и одного знака, и направление, противоположное вектору a, если и разного знака. Следовательно, .

 

 

Свойство 6 очевидно, если . Если и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 6.

Рис.6.Свойство дистрибутивности

 

Случаи, когда или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы и коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что (в противном случае поменяем местами и в доказываемом равенстве).

Пусть и одного знака. Тогда , .

Пусть и имеют разные знаки. Тогда , . Получили, что в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при и противоположно при . Следовательно, . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения 10.9 произведения вектора на число.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.117.56 (0.034 с.)