Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Прямые и плоскости в пространстве. Различные уравнения прямой и плоскости.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z Ax + By + Cz +D = 0 (1) задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (1), которое называется уравнением плоскости. Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0. Особые случаи уравнения (1): 1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат. 2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz. 3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz. 4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz. Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0. Прямая в пространстве может быть задана: 1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (2) 2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями: = ; (3) 3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями: . (4) Уравнения (4) называются каноническими уравнениями прямой. Вектор a называется направляющим вектором прямой. Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (5) Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой: x = mz + a, y = nz + b. (6) От уравнений (6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения: . От общих уравнений (2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [ n 1, n 2], где n 1(A1, B1, C1) и n 2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.
Линии второго порядка. Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*) Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно, не распадающиеся линии: — эллипсы, — гиперболы, y2 = 2px — параболы, — мнимые эллипсы; распадающиеся линии: — пары пересекающихся прямых, — пары мнимых пересекающихся прямых, x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых, x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых, x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых. Поверхность второго порядка Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением (1) где - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля. 1. Сфера Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром. Теорема. Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение
2. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где , , -- положительные числа. Рис. Эллипсоид 3. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где , , -- положительные числа. Рис. Однополостный гиперболоид 5. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где , , -- положительные числа. Рис. Изображение конуса с помощью сечений 6. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где и -- положительные числа. Рис. Эллиптический параболоид 7. Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими. Рассмотрим уравнение вида и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Пусть -- некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению. Поскольку в это уравнение не входит явно переменная , ему будут удовлетворять координаты всех точек , где -- любое число. Следовательно, при любом точка лежит на поверхности, определяемой уравнением. Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку параллельно оси . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением, составлена из прямых, параллельных оси , то есть она является цилиндрической поверхностью. Заметим, что на плоскости уравнение определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности. Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением называется параболическим цилиндром. 4?. Евкливоды п -мерные пространства Если координаты векторов и заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычисляется по формуле Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в -мерном пространстве. Пусть -- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами: Скалярное произведение векторов, обозначается оно обычно , задается формулой (1) В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно. Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (1). Если , -- координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать формулой Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (1) Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством. В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично то есть В трехмерном пространстве с помощью скалярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Если -- комплексное линейное -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой где черта над означает комплексное сопряжение. Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством. В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 454; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.32.252 (0.007 с.) |