Прямые и плоскости в пространстве. Различные уравнения прямой и плоскости.

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0; (2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (4)

Уравнения (4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt. (5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (6)

От уравнений (6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [ n ₁, n ₂], где n ₁(A₁, B₁, C₁) и n ₂(A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x₁, y = y₁; прямая параллельна оси Oz.

 

 

Линии второго порядка.

Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a₁₁x² + a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₁₁ = 0. (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,

не распадающиеся линии:

— эллипсы,

— гиперболы,

y² = 2px — параболы,

— мнимые эллипсы;

распадающиеся линии:

— пары пересекающихся прямых,

— пары мнимых пересекающихся прямых,

x² - а² = 0 — пары параллельных прямых,

x² + а² = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

x² = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

Поверхность второго порядка

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

(1)

где - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

1. Сфера

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема. Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение

 

2. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где , , -- положительные числа.

Рис. Эллипсоид

3. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где , , -- положительные числа.

Рис. Однополостный гиперболоид

5. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где , , -- положительные числа.

Рис. Изображение конуса с помощью сечений

6. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где и -- положительные числа.

Рис. Эллиптический параболоид

7. Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.

Рассмотрим уравнение вида

и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Пусть -- некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению. Поскольку в это уравнение не входит явно переменная , ему будут удовлетворять координаты всех точек , где -- любое число. Следовательно, при любом точка лежит на поверхности, определяемой уравнением. Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку параллельно оси . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением, составлена из прямых, параллельных оси , то есть она является цилиндрической поверхностью.

Заметим, что на плоскости уравнение определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением называется параболическим цилиндром.

4?. Евкливоды п -мерные пространства

Если координаты векторов

и

заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычисляется по формуле

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в -мерном пространстве.

Пусть -- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами:

Скалярное произведение векторов, обозначается оно обычно , задается формулой (1)

В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно. Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (1).

Если , -- координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать формулой

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (1)

Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

то есть

В трехмерном пространстве с помощью скалярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Если -- комплексное линейное -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

где черта над означает комплексное сопряжение.

Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи