![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Матричный метод решения систем линейных уравненийСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ УТВЕРЖДАЮ: Зам. директора по УПР _______Черненкова Н.В. «____»__________2011г. СБОРНИК Практических занятий
По дисциплине: «Элементы высшей математики» Номера работ: №1 – 16 для специальностей: 230115 – «Программирование в компьютерных системах» 230401 – «Информационные системы»
Каждая работа рассчитана на 2 часа
Составлен преподавателем Лобачевой М.Е. Рассмотрен на заседании П(Ц)К «Естественнонаучные и общепрофессиональные дисциплины» Протокол № 1 от 31.08.2011г. Председатель П(Ц)К________Лобачева М.Е.
Самара, 2011г Практическое занятие №1 Наименование занятия: Операции над матрицами. Вычисление определителей Цель занятия: Научиться выполнять действия с матрицами, вычислять определители. Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Матрицы и определители». Литература: 1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г. 2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г. Задание на занятие:
Порядок проведения занятия:
Содержание отчета:
Контрольные вопросы для зачета:
ПРИЛОЖЕНИЕ Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i - номер строки, а j - номер столбца.
А = Транспонированной к матрице А называется матрица Например, А = Действия с матрицами 1) Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу 2) Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц Пример. Даны матрицы А = 2А =
3) Умножение матриц. Произведение матрицы Пример. Найти произведение матриц А = АВ = ВА = Пример. Найти произведение матриц А= АВ =
Определители Каждой квадратной матрице Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков легко выписать:
Последнюю формулу, несмотря на внешнюю сложность записи, нетрудно запомнить. Если соединить линией каждые три элемента определителя, произведение которых входит в правую часть последней формулы со знаком «
Схема 1 Схема 2 Способы вычисления определителей: 1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно вычислять определители второго и третьего порядка.
2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца. 3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Чтобы получить треугольный определитель, нужно к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, до тех пор, пока не придем к определителю треугольного вида. Пример. Вычислить определитель матрицы по правилу треугольников А = = -5 + 18 + 6 = 19. Пример. Вычислить определитель с помощью его разложения по элементам первой строки.
Значение определителя: -1·10 + 3·2 – 4·10 = -44.
Практическое занятие №2 Наименование занятия: Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы. Цель занятия: Научиться находить обратные матрицы, вычислять ранг матриц. Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Матрицы и определители». Литература:
Задание на занятие:
1) 2) 3) 4) 5)
1) 2) Порядок проведения занятия:
Содержание отчета:
Контрольные вопросы для зачета:
ПРИЛОЖЕНИЕ Обратная матрица Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица А называется вырожденной. Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на матрицу А (как слева, так и справа) дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается символом Если А – невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица
Пример. Дана матрица А = Найдем определитель матрицы. А 11 = 4; А 12 = – 3; А 21 = – 2; А 22 = 1 Таким образом, Ранг матрицы Минором порядка В матрице Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Вычисление ранга матрицы Идея практического метода вычисления ранга матрицы заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к треугольному виду. Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице. Элементарными преобразованиями называют следующие преобразования матриц:
1) Умножение или деление строки на число, отличное от нуля; 2) Сложение и вычитание строк; 3) Перестановку строк; 4) Вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) Транспонирование Те же операции, применяемые для столбцов, также являются элементарными преобразованиями.
Пример: Определить ранг матрицы.
Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора. Практическое занятие №3 Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Крамера. Цель занятия: Научиться решать системы линейных уравнений различными методами. Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений» Литература:
Задание на занятие:
1)
2)
3) 4)
5)
Порядок проведения занятия:
Содержание отчета:
Контрольные вопросы для зачета:
ПРИЛОЖЕНИЕ Матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Пусть дана система Практическое занятие №4 Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Цель занятия: Научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений» Литература:
Задание на занятие:
1)
2)
4)
5)
3)
6) Порядок проведения занятия:
Содержание отчета:
Контрольные вопросы для зачета:
ПРИЛОЖЕНИЕ Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решением системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Для этой системы линейных уравнений вида матрица
А =
А*= Метод Гаусса Суть метода заключается в том, что систему уравнений с помощью элементарных преобразований приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называются прямым ходом. Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход). Элементарными преобразованиями систем являются: 1) Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число 2) Сложение и вычитание уравнений 3) Перестановка уравнений системы местами. 4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Составим расширенную матрицу системы. А* = Выполним над этой матрицей следующие преобразования: 1) поменяем местами 1 и 2 строки; 2) прибавим к элементам 2 строки 1-ю строку, умноженную на -2; 3) прибавим к элементам 3 строки 1-ю строку, умноженную на -7; 4) прибавим к элементам 3 строки 2-ю строку, умноженную на -3; А* = Получили систему с треугольной матрицей. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
Практическое занятие №5 Наименование занятия: Операции над векторами Цель занятия: Научиться выполнять действия с векторами Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Векторы. Операции над векторами» Литература:
Задание на занятие:
Порядок проведения занятия:
Содержание отчета:
Контрольные вопросы для зачета:
ПРИЛОЖЕНИЕ
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевойвектор – это вектор, начало и конец которого совпадают. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Действия над векторами 1. Суммой двух векторов называется вектор 2. Произведением вектора 1) 2) вектор 3) вектор Координаты вектора Пусть точки А(х 1, y 1) и B(x 2, y 2), заданы в прямоугольной декартовой системе координат. Чтобы найти координаты вектора
Практическое занятие №6 Наименование занятия: Составление уравнений прямых. Цель занятия: Научиться составлять уравнения прямых. Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Прямая на плоскости» Литература:
Задание на занятие: 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку В(5; 3) и имеющей нормальный вектор 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; -2) и имеющей направляющий вектор 3. Треугольник задан точками А(5; 2), В(-1; -4), С(-5; -3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно АС. 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1; 3), В(4; 1). 5. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами А(7; 0), В(3; 6), С(-1; 1). 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) и перпендикулярной прямой 4 х + 3 у - 12 = 0. 7. Записать уравнения прямых в отрезках и построить их: а) 2 х + 5 у + 20 = 0; б) х – 8 у + 4 = 0. Порядок проведения занятия:
Содержание отчета:
Контрольные вопросы для зачета:
ПРИЛОЖЕНИЕ
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий. Уравнение прямой в отрезках Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 коэффициент С ¹ 0, то, разделив на С, получим: Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. А = -1, В = 1, С = 1, тогда а = -1, b = 1. Уравнение прямой в отрезках примет вид Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. Находим уравнение стороны АВ: 4 x = 6 y – 6; 2 x – 3 y + 3 = 0; Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Практическое занятие №7 Наименование занятия: Кривые второго порядка. Цель занятия: Научиться составлять кривых 2-го порядка, строить их. Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Кривые 2-го порядка» Литература:
Задание на занятие:
Порядок проведения занятия:
Содержание отчета:
Контрольные вопросы для зачета:
ПРИЛОЖЕНИЕ
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Пусть центром окружности является точка О (a; b), а расстояние до любой точки М (х;у) окружности равно R. Тогда (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 – каноническое уравнение окружности с центром О (a; b) и радиусом R.
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2 x 2 + 2 y 2 – 8x + 5 y – 4 = 0. Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты: x 2 + y 2 – 4 x + 2,5 y – 2 = 0 x 2 – 4 x + 4 – 4 + y 2 + 2,5 y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16 Отсюда находим координаты центра О (2; -5/4); радиус R = 11/4.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Фокусы обозначаются буквами F 1, F 2, расстояние между фокусами – 2 с, сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – 2 а (2 а > 2 c), a – большая полуось; b – малая полуось. Каноническое уравнение эллипса имеет вид: Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к длине большей оси и называется эксцентриситетом. Т.к. по определению 2 а > 2 c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е.
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2. Уравнение эллипса имеет вид: Расстояние между фокусами: 2 c =
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси: Если длина действительной оси равна длине мнимой оси, т.е. а = b, ε = Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16. Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2 a; c 2 = 4 a 2; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12. Тогда
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F, директриса – d, расстояние от фокуса до директрисы – р. Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид: y 2 = 2 px или y 2 = -2 px Уравнения директрис соответственно x = - p /2, x = p /2 Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид: х 2 = 2 pу или х 2 = -2 pу Уравнения директрис соответственно у = - p /2, у = p /2 Пример. На параболе у 2 = 8 х найти точки, расстояние которой от
|
||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-15; просмотров: 615; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.78.108 (0.027 с.) |