Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение, которое можно привести к виду

,

где функция не изменяется при замене х и у на tx и ty, т.е. удовлетворяет условию

.

Отметим, что функцию , которая соответствует указанному условию, называют однородной нулевого по рядка.

Замечание. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка путем подстановки можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3. Найти общее решение однородного дифферен-циального уравнения первого порядка:

.

Решение. Введем подстановку

Проинтегрируем обе части

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

Уравнение вида

,

где – непрерывная на функция.

Решение уравнения находится понижением порядка и интегрированием.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Путем интегрирования данного уравнения получаем:

;

.

Уравнение вида

,

не содержащее искомую функцию у.

Путем подстановки ; и сводится к уравнению первого порядка относительно функции .

Пример 2. Найти общее решение уравнения

. (1)

Ведем подстановку , тогда .

Перейдем к уравнению

. (2)

Это уравнение линейное относительно р. Пусть , а . Подставив в (2)

; ,

перейдем к системе

.

Решим отдельно (3) и (4).

(3): . Разделим переменные и проинтегрируем:

.

(4): ; . Разделим переменные и проинтег-рируем:

; .

Тогда

.

Возвращаясь к искомой функции у, имеем

;

.

Уравнение вида

,

не содержащее аргумент х.

Путем подстановки

или

приводится к уравнению первого порядка относительно функции р, зависящей от у.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Уравнение не содержит явный аргумент х, поэтому сделаем подстановку

, тогда

и данное уравнение примет вид

или .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции .

Разделяя переменные, получим

.

Но , тогда или .

Отсюда получим общее решение заданного уравнения:

.

 

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение 1. Дифференциальное уравнение второго порядка называют линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами, если оно имеет вид

, где . (1)

Решение уравнения (1)будем искать в виде (2). Тогда подставив (2) в (1) вместо , уравнение (1) обращается в тождество

; ,

после сокращения на имеем . Функция будет решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда трехчлен обратится в нуль, т.е. только в том случае, когда будет корнем квадратного уравнения , которое называется характеристическим уравнением для дифференциаль-ного уравнения (1).

Для нахождения общего решения такого уравнения целесообразно действовать таким образом:

1) составить характеристическое уравнение путем замены на , на , на 1, т.е. получить алгебраическое уравнение

относительно k. (2)

2) решить алгебраическое уравнение, используя формулу:

. (3)

3) проанализировать возможные корни характеристического уравнения:

а) действительные и различные, т.е. ;

б) действительные и равные, т.е. ;

в) комплексные, т.е. , где .

4) в зависимости от значений корней характеристического уравнения общее решение заданного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

в случае а): .

в случае б): .

в случае в): .

Пример 1. Найти общие решения уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

Решение. Для уравнения а) характеристическим уравнением является .

Найдем корни этого уравнения: .

Корни характеристического уравнения действительны и различ-ны, поэтому общее решение уравнения а) будет: .

Для уравнения б) характеристическим уравнением является

.

Корни характеристического уравнения действительны и равны, поэтому общее решение уравнения б): .

Для уравнения в) характеристическим уравнением является

.

Корни этого уравнения комплексные числа, причем , , поэтому общим решением дифференциального уравнения в) является: .

 

Пример использования дифференциальных уравнений в экономических задачах

Пример 1. Экономисты установили, что скорость увеличения инвестированного капитала в любой момент времени пропорциональна величине капитала с коэффициентом пропорциональности равным согласованному проценту непрерывного возрастания капитала. Необходимо найти закон возрастания инвестированного капитала, учитывая величину начальной инвестиции .

Решение. Пусть – величина инвестированного капитала в момент времени (искомая функция).

Тогда – скорость изменения инвестиции, . По условию задачи имеем

.

Необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения является функция . Учитывая начальное условие , имеем . Решением задачи Коши является функция .

 

Упражнения к главе 5

1. Найти общее решение или общий интеграл дифферен-циальных уравнений с разделяющимися переменными:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) .

2. Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) .

3. Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

4. Найти общее решение уравнений Бернулли:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

5. Найти решение задачи Коши:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

6. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

7. Найти общее решение уравнений:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

8. Решить задачу экономического содержания:

Скорость возрастания численности населения пропорциональна численности населения. Найти закон роста численности населения страны, в которой в 2000 году было 50 млн. населения. Сколько населения будет в 2010 году?

 

5.9 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 5

1. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 10) .

11) . 12) .

13) . 14) .

15) . 16) .

17) . 18) .

19) . 20) .

21) . 22) .

23) . 24) .

25) . 26) .

27) . 28) .

29) . 30) .

 

2 Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и уравнения Бернулли

1) . 2) .

3) . 4) .

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 10) .

11) . 12) .

13) . 14) .

15) . 16) .

17) . 18) .

19) . 20) .

21) . 22) .

23) . 24) .

25) . 26) .

27) . 28) .

29) . 30) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400с.

2. Бугір М.К. Математика для економістів: Посібник. – К.: Видавничий центр “Академія”, 2003. – 520 с.

3. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. (Решебник). – 2-е изд., испр. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368 с.

4. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1968. – 411 с.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2001. – 688 с.

6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2006. – 464 с.: ил. –(Серия «Учебное пособие»).

7. И.Н. Ляшенко, Е.И. Ляшенко. Математика для экономистов: Учебное пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. – 1998. – 228 с.

8. Павленко Т.В., Сукач Т. М. Вивчення інтегрального числення в умовах модульно-рейтингової системи навчання: Навч.посіб. – Алчевськ: ДонДТУ, 2005 – 166 с.

9. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. — 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. — 288 с.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное исчисление. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1985. – 430, 451 с.

11. Ризун В.И. Высшая математика для экономических специальностей, часть II. – Алчевск, ДГМИ, 1999. – 287 с.

12. Ризун В.И. Высшая математика для экономических специальностей. – Алчевск, ДГМИ, 2001. – 214 с.

13. Сукач Т. Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов вуза, колледжа. – Алчевск: ДГМИ, 2003 – 121 с.

14. Токунова Т.В. Диференціальне і інтегральне числення: Навч. посіб. – Алчевськ: ДГМІ, 2002. – 175 с.