К понятию определенного интеграла, как и многих других математических понятий, привели нужды решения задач геометрии, физики и многих практических задач. Рассмотрим несколько таких задач.

Вычисление площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке определена непрерывная функция и будем пока что считать, что для всех .

Определение 1. Фигуру, ограниченную кривой , отрезком оси , прямыми и , называют криволинейной трапецией.

В отдельных случаях может или и тогда соответствующая сторона трапеции сжимается в точку.

Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции поделим отрезок произвольным образом на п частей точками

.

Длины этих частей

.

Перпендикуляры к оси проведены из точек деления к кривой , разделяют всю площадь трапеции на п узких криволинейных трапеций.

 

 

	a

 

Заменим каждую из этих трапеций прямоугольником с основанием и высотой , где .

Сумма площадей всех таких прямоугольников будет равняться

.

Таким образом, площадь S криволинейной трапеции приближенно равняется этой сумме, т.е.

.

Эта формула будет тем точнее, чем меньше величина .

Чтобы получить точную формулу для вычисления площади S криволинейной трапеции, надо в этой формуле перейти к пределу, когда . Тогда

.

Определение определенного интеграла и его содержание

Пусть функция задана на отрезке . Разобьем этот отрезок на п частей точками деления

.

В каждом промежутке длиной выберем произвольную точку и вычислим соответствующее значение функции

.

Получим сумму , которую называют интегральной суммой для функции на отрезке .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы при , независимый от способа разбиения отрезка на части и выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

. (1)

Математически это определение можно записать так:

= (2)

Числа а и b называются нижним и верхним пределом интегрирования.

Функция называется подинтегральной функцией, а – подинтегральным выражением.

Согласно этому формулу для вычисления площади S криволинейной трапеции теперь можно записать в виде

. (3)

Основные свойства определенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла и основных теорем о пределах вытекают следующие свойства

1. .

2. Для любых чисел имеет место равенство

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е

.

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

5. Если функция всюду на отрезке , то

.

6. Если всюду на отрезке , то

.

7. Если функция интегрируема на отрезке , то

.

8. Если М и т – соответственно, максимум и минимум функции на отрезке , то

.

Формула Ньютона - Лейбница

Теорема 1. Непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция

. (1)

В формуле (1) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.

Согласно теореме 1, непрерывная на отрезке функция имеет первообразную, которая определяется формулой

, (2)

где С – некоторая постоянная. Подставляя сюда , получаем с учетом свойства 1 определенного интеграла:

,

откуда . Тогда из (2) имеем:

.

Полагая , получаем формулу

(3)

Равенство (3) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона - Лейбница.

Разность условно записывают символом , т.е.

(4)

Формула (4) дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной в пределах интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 2. Вычислить интеграл:

.

Пример 3. Вычислить интеграл:

.

 

Методы интегрирования в определенном интеграле

Интегрирование по частям

Теорема 1. Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными и на отрезке , тогда справедлива формула:

. (1)

Разность (1) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Примем здесь и (тогда , ).

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда

.

.

 

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 2. Пусть: 1) – непрерывная функция на отрезке ; 2) функция – дифференцируема на , причем непрерывна на и множеством значений функции является отрезок ; 3) . Тогда справедлива формула

. (2)

Формула (2) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Применив формулу замены переменной в определенном интеграле справа налево (здесь роль переменной t сыграет переменная х, получим

.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Применим замену переменной , .

Имеем

.

 

Несобственные интегралы

При изучении определенного интеграла мы выходили из условий конечности отрезка интегрирования и ограниченности на нем подинтегральной функции. Тем не менее, на практике применяются интегралы с бесконечными промежутками интегрирования и интегралы неограниченных функций, с чем связано понятие несобственного интеграла.

 

Понятие и разновидности несобственных интегралов

Согласно теореме существования определенного интеграла этот интеграл существует, если выполненные условия:

1) отрезок интегрирования конечен;

2) подинтегральная функция непрерывная или ограничена и имеет конечное число точек разрыва.

Определение 1. Если хотя бы одно из условий 1) или 2) не выполняется, то определенный интеграл называют несобственным.

Если не выполняется первое условие, т.е. или , или и , то интегралы называют несобственными интегралами с бесконечными пределами.

Определение 2. Если не выполняется лишь второе условие, то подинтегральная функция имеет точки разрыва второго рода на отрезке интегрирования . В этом случае называют несобственным интегралом от разрывной функции или от функции, неограниченной в точках отрезка интегрирования.