Производная сложной и неявной функции

Пусть – функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной : , . В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной ; переменные и – промежуточные переменные.

Теорема 1. Если дифференцируемая в точке функция и , – дифференцируемые функции независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле

.

Пример 1. Найти , если

.

Решение. Функция , как функция переменных х, у, дифференцирована во всей плоскости Оху, поскольку имеет частные производные

непрерывные в произвольной точке .

Функции дифференцированы на всей числовой прямой , так как производные

существуют для любого .

Таким образом, для функции выполняются все условия теоремы. Поэтому для произвольного по формуле имеем:

.

 

Если функция задана неявно уравнением , то производную неявной функции вычисляют по формуле

Если функция задана уравнением , неразрешенным относительно , то

.

Пример 2. Найти частные производные функции , заданной уравнением .

Решение. Имеем:

.

Итак, по формуле

Пример 3. Найти , если неявная функция задана уравнением .

Решение.

 

Использование частных производных в геометрии

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть задана поверхность , точка принадлежит этой поверхности и функция дифференцирована в точке .

Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в точке имеет вид

, (1)

уравнение нормали –

. (2)

Порядок нахождения уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности:

1. вычисляем частные производные в точке ;

2. подставляем найденные значения у уравнения (1), (2).

Если задано только значение и , то координата точки определяется из условия, что точка М принадлежит заданной поверхности, т.е. .

Если поверхность задана уравнением , то уравнение нормали и касательной плоскости имеют вид:

; (3)

. (4)

Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение.

Запишем уравнение поверхности в виде , т.е.

.

Координаты точки М: , . Координата определяется из условия, что точка М принадлежит заданной поверхности, т.е. . Имеем .

Вычислим частные производные в точке :

.

Воспользуемся уравнением (1) и (2). Имеем уравнение касательной плоскости

;

.

Уравнение нормали

;

.

Определение 1. Градиент функции в точке — это вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке :

,

где — единичные векторы (орты).

Пример 2. Найти градиент функции в точке .

Решение. Найдем частные производные функции :

Вычислим частные производные функции в точке :

Вычислим градиент функции в точке :

Упражнения к разделу 3.4

Найти частные производные функции:

1. . Найти .

2. . Найти .

3. . Найти .

Найти полный дифференциал функции:

4. . Найти .

5. . Найти .

6. . Найти .

Вычислить приближенно:

7. .

8. .

Найти частные производные первого и второго порядка функций:

9. .

10. .

11. .

12. .

Найти стационарные точки функций, и исследовать их характер:

13. . — стационарная точка и точка минимума,

14. . — стационарная точка, в точке экстремума нет

15. . — стационарная точка, — точка минимума,

16. . — стационарная точка. — точка минимума,

Найти производные , функции , где

.

17. .

18. .

19. .

Найти производные функций , заданных неявно уравнениями.

20. .

21. .

Найти градиент функции в точке .

22. .

23.

24.

25.

26.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке :

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

3.4.8 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.4

1. а) найти ;

б) найти приближенное значение функции в точке ;

в) написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке , если задано:

1). ,

2). , .

3). ,

4). ,

5). ,

6). , .

7). , .

8). , .

9). , .

10). , .

11). , .

12). , .

13). , .

14). , .

15). , .

16). , .

17). , .

18). , .

19). , .

20). ,

21). , .

22). , .

23). , .

24). , .

25). , .

26). , .

27). , .

28). , .

29). , .

30). , .

2. Задана дифференцированная функция , где , . Найти производную .

1). .

2). .

3). .

4). .

5). .

6). .

7). .

8). .

9). .

10). .

11). .

12). .

13). .

14). .

15). .

16). .

17). .

18). .

19). .

20). .

21). .

22). .

23). .

24). .

25). .

26). .

27). .

28). .

29). .

30). .

 

3. Исследовать на экстремум функцию :

1). .

2). .

3). .

4). .

5). .

6). .

7). .

8). ;

9). .

10). .

11). .

12). .

13). .

14). .

15). .

16). .

17). .

18). .

19). .

20). .

21). .

22). .

23). .

24). .

25). .

26). .

27). .

28). .

29). .

30). .

Глава 4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл