Задача нахождения затрат сырья, топлива и трудовых ресурсов

В таблице даны нормы затрат двух видов сырья и топлива на производство единицы продукции каждого цеха, трудоемкость в человеко-часах на единицу продукции, стоимость соответствующей единицы сырья и стоимость одного человеко-часа.

Показатели	Нормы затрат цехов	Стоимость
Сырье (а)
Сырье (б)
Топливо
Трудоемкость
Валовый выпуск

 

Найти: 1) Суммарные затраты сырья, топлива и трудовых ресурсов для выполнения программы производства;

2) полные затраты сырья, топлива и трудовых ресурсов каждым цехом и предприятием;

3) внутрипроизводственные затраты цехов.

Решение. Заданная таблица непосредственно позволяет составить матрицу Д норм затрат сырья, топлива и трудовых ресурсов размера :

;

и матрицу стоимости сырья, топлива и трудовых человеко-часов:

.

1) Суммарные затраты сырья, топлива и трудовых ресурсов для выполнения программы предприятия получим путем умножения матрицы норм затрат Д на матрицу Х валового выпуска продукции:

.

Таким образом, для выполнения программы предприятия необходимо затратить:

1) сырья (а) – 1700 ед.;

сырья (б) – 950 ед.;

2) топливо – 1650 ед.;

3) трудовых человеко-часов – 13000.

2) Затраты сырья, топлива и трудоемкости каждого цеха получим путем умножения нормы затрат каждого цеха на его валовый выпуск продукции:

; ; .

Таким образом, матрица полных затрат сырья, топлива и трудовых ресурсов всего производства будет иметь вид:

.

3) Производственные затраты цехов получим умножением матрицы-строки стоимости на матрицу полных затрат:

.

Таким образом, стоимость затрат первого цеха – 7200, второго – 11100, третьего – 44400.

 

Упражнения к главе 1

1. Вычислить определитель второго порядка

Ответ: 1) 7; 2) 0; 3) 0; 4) 0.

2. Решить уравнение

Ответ: 1) 4,5; 2) 7; 3) (-1; 2); 4) (2; -1).

3. Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу:

Ответ: 1) 14; 2) –14; 3) 27; 4) xyz.

4. Вычислить определители четвертого порядка:

1. . 2. . 3. . 4. .

Ответ: 1) 15; 2) –18; 3) 12; 4) –6.

5. Вычислить значение , если:

1) .

2) .

3) .

4) , .

Ответы: 1) . 2) .

3) 4) .

6. Транспонировать матрицы:

1. .

2. .

Ответы: 1). . 2). .

7. Найти обратную матрицу к заданной матрице:

1) .	2) .
3) .	4) .

Ответы:

1). .	2). .
3). .	4). .

8. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

1) .

2) .

Ответы: 1) 2; 2) 3.

9. Решить системы уравнений методом Гаусса, по правилу Крамера, с помощью обратной матрицы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

5) 6) .

10. Исследовать СЛАУ, для совместных систем найти общее и одно частное решение:

1) 2)

3) 4)

Ответы: 1) Система совместна и определенна. Общее решение равно частному (1; 2). 2) Несовместна. 3) Совместна и неопределенна. О.р. , ч.р. (3;0;0). 4) Совместна и неопределенна. О.р. , ч.р. (0;0;1)

11. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной СЛАУ:

1) 2)

Ответы: 1) Общее решение (0; 0), фундаментальной системы решений нет. 2) , (– 1; 1).

12. Найти фундаментальные системы решений однородных систем:

1) 2)

3) 4)

Ответы: 1) , 2) , , 3) ,

, 4) , .

13. В таблице даны показатели потребности предложений трех отраслей промышленности (N – номер варианта):

Отраслевые предложения	Отраслевые потребности	Потребности других отраслей	Количество всех предложений
Начальные показатели

 

а) Определить матрицу А потребностей-предложений;

б) Через 5 лет потребности других отраслей возрастут до 24 + N, 33 + N и 75 + N на продукции отраслей 1, 2, 3 соответственно. Определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль, чтобы удовлетворить новые потребности.

14. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух видов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей . Стоимость единицы сырья каждого типа заданы матрицей . Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 2000 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида?

1.6 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 1

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) методом Крамера; б) методом Гаусса; с) матричным методом.

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)
15)	16)
17)	18)
19)	20)
21)	22)
23)	24)
25)	26)
27)	28)
29)	30)

 

2. Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы уравнений:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)
15)	16)
17)	18)
19)	20)
21)	22)
23)	24)
25)	26)
27)	28)
29)	30)

 

3. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья, характеристики производства указаны в таблице.

Вид сырья	Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд.	запас сырья, вес. ед.
				2000+N
				1900+N
				2100+n

 

Найти объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. (N – номер варианта)

Глава 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Векторная алгебра

Векторы и действия над ними

Определение 1. Скалярными называются величины, которые характеризуются одним числом.

Определение 2. Вектор – это направленный отрезок. Векторы обозначаются одной , или двумя буквами , .

Определение 3. Длиной вектора называется его модуль и обозначается или :

, (1)

где – координаты вектора.

Направляющие косинусы вектора определяются по формулам:

. (2)

Если известны координаты начала и конца вектора, то координаты вектора определяются по формуле:

. (3)

Длина вектора :

. (4)

Определение 4. Вектор, длина которого равняется нулю, называется нулевым вектором.

Определение 5. Вектор, длина которого равняется единице, называется единичным или ортом.

Определение 6. Векторы, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Условие коллинеарности векторов и :

.

Определение 7. Векторы, расположенные на одной или параллельных плоскостях, называются компланарными.

Определение 8. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковые модули.

Разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось l называется проекцией вектора на эту ось:

.

Если вектор образует с осью l острый угол, то , и проекция вектора положительна; если угол тупой, то проекция отрицательна; если вектор перпендикулярен оси l, то проекция равна нулю.

Свойства проекций:

;

;

.

Произведение проекции вектора на ось l и единичного вектора этой оси называется составляющей вектора по оси l.

Нахождение проекции одного вектора на направление другого:

.

Определение 8. Линейными называются операции сложения, вычитания векторов и умножение вектора на число.

Сложение векторов графически имеет вид:

а) правило треугольника б) правило параллелограмма.

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения – переместительному и сочетательному .

Разность векторов графически имеет вид:

 

Определение 9. Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору и имеющий модуль .

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1). ; 2). ; 3).

4). ; 5). ; 6). .

Каждый вектор можно представить в виде произведения его модуля на орт.

Пример 1. Даны начало и конец вектора . Найти координаты вектора и его длину.

Решение. Найдем координаты вектора :

или .

.

Пример 2. Даны векторы и . Найти координаты и длину вектора .

Решение. По формуле умножения вектора на число имеем:

,

.

По формуле сложения векторов имеем:

.