Характеристическое уравнение

Пусть х – собственный вектор квадратной матрицы А порядка п. Тогда имеет место матричное уравнение

, или , (4)

где – собственное значение матрицы А, а Е и – соответственно, единичная матрица и нулевой вектор-столбец. Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система (4) должна иметь ненулевое решение, т. е. в силу следствия 2 (см. ранее) определитель этой системы равен нулю:

. (5)

Определитель системы однородных уравнений (4) называется характеристическим многочленом, а уравнение (5) – характеристическим уравнением матрицы А.

Уравнение (5) имеет степень п относительно неизвестной . Его корни являются собственными числами матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однородной системы (4).

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

Решение. Характеристическое уравнение для этой матрицы имеет вид , откуда, раскрывая определитель, получаем:

.

Корни этого уравнения , . Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные значения в систему однородных уравнений (4) при , соответствующей заданной матрице А. Собственный вектор, соответствующий собственному значению , является решением системы

По сути дела, это одно уравнение, поскольку определитель системы равен нулю. Полагая свободной переменной, получаем первый собственный вектор . Подстановка второго собственного значения приводит к системе уравнений

которая через свободную переменную определяет второй собственный вектор матрицы А: .

Поскольку и с – произвольные числа, то одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины. Например, собственные векторы, соответствующие фундаментальным решениям однородных систем (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид, .

Пример 3. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений для СЛАУ:

Решение: Матрицы А и С имеют вид

Их ранги , значит, СЛАУ совместна.

Выделим следующую подсистему

Считая известными, ее решение найдем по формулам Крамера:

,

где могут принимать произвольные значения.

Общее решение системы имеет вид

.

Частное решение системы получим, например, при , :

.

Давая свободным неизвестным поочередно значения, равные элементам столбцов определителя, порядка количества свободных неизвестных, в данном случае второго

,

получим векторы

,

представляющие собой фундаментальную систему решений.

Общее решение теперь можно записать следующим образом:

Придавая коэффициентам различные числовые значения, получим различные частные решения. Любое частное решение можно получить путем подходящего выбора коэффициентов .

 

Примеры использования линейной алгебры в задачах экономического содержания

Модель межотраслевого планирования потребностей и предложений

Таблицей заданы показатели взаимных спросов и предложений между различными отраслями промышленности:

Отраслевые предложения	Отраслевые потребности	Потребности других отраслей	Кол-во всех предложений
Затраты труда

 

1) Найти матрицу потребностей–предложений А;

2) Допустим, что через 3 года потребности других отраслей возрастут до 26, 35 и 80 показателей для областей 1, 2, 3 соответственно. Сколько продукции должна произвести каждая отрасль, чтобы удовлетворить эти потребности?

Решение. 1) Элементы искомой матрицы А равны отношению спроса i -ной отрасли к общему количеству предложений этой отрасли. Поэтому для нахождения элементов i- го столбца () матрицы А необходимо разделить потребности i- й отрасли, указанной в таблице, на общее количество предложений этой отрасли.

Таким образом, матрица потребностей–предложений:

.

2) Пусть Е – единичная матрица третьего порядка. Обозначим:

– матрица–столбец новых потребностей.

Х – матрица новых предложений, соответствующим новым потребностям.

.

Тогда:

. (1)

Для вычисления будущих предложений осталось найти . Матрица квадратная, третьего порядка, ее определитель:

.

Для вычисления матрицы найдем алгебраические дополнения элементов матрицы В:

Обратная матрица имеет вид

.

Подставив значение Д и найденную обратную матрицу в формулу (1), получим:

Таким образом, первой отрасли необходимо изготовить 130,9 единиц продукции, второй – 169,96, третьей – 219,87 единиц продукции через 3 года.