Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.



 

Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.

Теорема. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида

 

А x + B y + С = О, (1)

 

где А, В, С R и А2 + В2 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.

Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.

Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда

 

-Ах-By=-С, и .

Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим

 

- уравнение в отрезках.

Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.

Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x11) и М222) принадлежит l. Тогда

А x 1 + В у 1 + С = А х 2 + В у 2 + С, то есть A(x 1- x 2) + В(у 1- у 2) = 0.

Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору =(x1-x212). т.е. Вектор (А,В) называется нормальным вектором прямой l.

 

Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда

=А(-В)+ВА=0. т.е. ^ .

Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l.

 

Параметрическое и каноническое уравнения прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

 

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направляющий вектор = (m,n) и точка M0 (x 0, y 0) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x, у) этой прямой имеем

и так как то .

 

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M и M0, то

- уравнение прямой в векторной форме.

Так как =(х, у), =(х 0, у 0), то

x = x 0 + mt,

y = y 0 + nt

 

- параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

- каноническое уравнение прямой.

 

Наконец, если на прямой l заданы две точки M1(х 1, у 1) и

M2(x 2, у 2), то вектор =(х 2- х 1, y 2- у 1) является направляющим вектором прямой l. Тогда

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

 

Взаимное расположение двух прямых.

 

Пусть прямые l 1 и l 2 заданы своими общими уравнениями

l 1: А1 х + В1 у + С1 = 0, (1)

l 2: А2 х + В2 у + С2 = 0.

 

Теорема. Пусть прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A1=λA2, В1=λB2;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А1=λA2, B1=λB2, С1=λС2;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А1=λA2, В1=λВ2, С1 λС2.

 


Пучок прямых

 

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l 1 и l 2, проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями

l 1: A1 x + B1 y + C1 = 0,

l 2: A2 x + B2 y + C2 = 0.

 

Уравнение:

A1 x + B1 y + С + λ (A2 х + В2 y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2

 

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

 

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l 1 и l 2. своими общими уравненими; = (А1,B1), = (А22) – нормальные векторы этих прямых; k 1 = tgα1, k 2 = tgα2 – угловые коэффициенты; = (m 1, n 1), (m 2, n 2) – направляющие векторы. Тогда, прямые l 1 и l 2 параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

либо , либо k 1= k 2, либо .

 

Пусть теперь прямые l 1 и l 2 перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А1А2 + В1В2 = 0.

Если прямые l 1 и l 2 заданы соответственно уравнениями

l 1: у = k 1 x + b 1,

l 2: у = k 2 x + b 2,

то tgα2 = tg(90º+α) = .

Отсюда следует, что

Наконец, если и направляющие векторы прямых, то ^ , то есть

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Последнее соотношение выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

 

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l 1 и l 2 будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £

 

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

 

cosφ=

 

Пусть теперь прямые l 1 и l 2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k 1 в k 2 соответственно. Тогда

Наконец, если и - направляющие вектора прямых, то

 


Расстояние от точки до прямой

Пусть d - расстояние от точки М0(x 0, у 0) до прямой l, заданной уравнением A x + B y + С=0.

Тогда

.

 

 

ПЛОСКОСТЬ

 

Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М0(х 0, у 0, z 0). Возьмем произвольную точку М(х, у, z) α и обозначим (А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х - х 0) + В(у - у 0) + C(z - z 0) = 0

Раскроем скобки и обозначим D= -А x 0 - В у 0 - C z 0. Получим

 

A x + B y + С z + D = 0 (*)

 

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

 

Теорема. Линейное уравнение (*) (A2+B2+C2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

 

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

 

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 286; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.211.26.178 (0.024 с.)