Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть задана некоторая афинная система координат OXY. Теорема. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида
А x + B y + С = О, (1)
где А, В, С R и А2 + В2 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую. Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой. Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда
-Ах-By=-С, и . Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим
- уравнение в отрезках. Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно. Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x1,у1) и М2(х2,у2) принадлежит l. Тогда А x 1 + В у 1 + С = А х 2 + В у 2 + С, то есть A(x 1- x 2) + В(у 1- у 2) = 0. Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору =(x1-x2,у1-у2). т.е. Вектор (А,В) называется нормальным вектором прямой l.
Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда =А(-В)+ВА=0. т.е. ^ . Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направляющий вектор = (m,n) и точка M0 (x 0, y 0) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x, у) этой прямой имеем и так как то .
Если обозначить и - радиус-векторы соответственно точек M и M0, то - уравнение прямой в векторной форме. Так как =(х, у), =(х 0, у 0), то x = x 0 + mt, y = y 0 + nt
- параметрическое уравнение прямой. Отсюда следует, что - каноническое уравнение прямой.
Наконец, если на прямой l заданы две точки M1(х 1, у 1) и M2(x 2, у 2), то вектор =(х 2- х 1, y 2- у 1) является направляющим вектором прямой l. Тогда - уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
Взаимное расположение двух прямых.
Пусть прямые l 1 и l 2 заданы своими общими уравнениями l 1: А1 х + В1 у + С1 = 0, (1) l 2: А2 х + В2 у + С2 = 0.
Теорема. Пусть прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда: 1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что A1=λA2, В1=λB2; 2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что А1=λA2, B1=λB2, С1=λС2; 3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что
А1=λA2, В1=λВ2, С1 λС2.
Пучок прямых
Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка. Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l 1 и l 2, проходящие через центр пучка. Пусть в аффинной системе координат прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями l 1: A1 x + B1 y + C1 = 0, l 2: A2 x + B2 y + C2 = 0.
Уравнение: A1 x + B1 y + С + λ (A2 х + В2 y + C) = 0 - уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2
В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть заданы прямые l 1 и l 2. своими общими уравненими; = (А1,B1), = (А2,В2) – нормальные векторы этих прямых; k 1 = tgα1, k 2 = tgα2 – угловые коэффициенты; = (m 1, n 1), (m 2, n 2) – направляющие векторы. Тогда, прямые l 1 и l 2 параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий: либо , либо k 1= k 2, либо .
Пусть теперь прямые l 1 и l 2 перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А1А2 + В1В2 = 0. Если прямые l 1 и l 2 заданы соответственно уравнениями l 1: у = k 1 x + b 1, l 2: у = k 2 x + b 2, то tgα2 = tg(90º+α) = . Отсюда следует, что Наконец, если и направляющие векторы прямых, то ^ , то есть m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 Последнее соотношение выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.
Угол между двумя прямыми Под углом φ между двумя прямыми l 1 и l 2 будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £
Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что
cosφ=
Пусть теперь прямые l 1 и l 2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k 1 в k 2 соответственно. Тогда Наконец, если и - направляющие вектора прямых, то
Расстояние от точки до прямой Пусть d - расстояние от точки М0(x 0, у 0) до прямой l, заданной уравнением A x + B y + С=0. Тогда .
ПЛОСКОСТЬ
Общее уравнение плоскости Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М0(х 0, у 0, z 0). Возьмем произвольную точку М(х, у, z) α и обозначим (А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.
Очевидно, что , то есть (х - х 0) + В(у - у 0) + C(z - z 0) = 0 Раскроем скобки и обозначим D= -А x 0 - В у 0 - C z 0. Получим
A x + B y + С z + D = 0 (*)
- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.
Теорема. Линейное уравнение (*) (A2+B2+C2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.
Пусть 1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат. 2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ 3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.
Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля. Тогда - уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 277; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.22.61.246 (0.031 с.) |