Линейная зависимость векторов.

 

Пусть дана система векторов

(1)

и α₁, α₂,...α_n - действительные числа. Тогда векторы вида

называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы (1).

Определение. Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.

= (2)

и хотя бы одно из чисел .

Определение. Система (1) называется линейно независимой, если равенство (2) возможно тогда и только тогда, когда все числа α_i=0.

Определение. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), т.е.

= ,

то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1).

Теорема. Для того чтобы векторы системы (1) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.

Следствие. Если векторы системы (1) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.

 

Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Следствие. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

 

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторам и этой плоскости, т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Теорема. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Следствие. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

 

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам , и , т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Tеорема. Любые четыре вектора линейно зависимы.

 

Определение. Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно независимых вектора и (любые три линейно независимых вектора , и ) образуют на этой плоскости (в пространстве) базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и (, , ).

Итак:

1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис на этой плоскости;

2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

 

Координаты на прямой.

Прямая l, на которой задана точка 0, называемая началомкоординат, задан единичный вектор , называемый ортом, называется координатнойосью.

Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-

 

линеарен вектору и, значит, . Вектор называется радиус-вектором точки М, а число х называется координатойточки М на координатной оси l (обозначается: М(х)) или координатой радиус-вектора (обозначается: =(х)).

Так как - единичный вектор, то каждой точке М на оси l поставлено в соответствие вполне определенное действительное число – ее координата.

Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, координата которой равна х. Таким образом, положение любой точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.

 

Координаты на плоскости.

 

Пусть на плоскости α заданы две координатные оси ОХ и OY с

неколлинеарными ортами и cоответственно. Тогда тройка (О, , ) называется афинным репером, или афинной системой координат плоскости α.

Точка 0 называется началом кооpдинат, векторы и — базисными векторами. Если М – произвольная точка на плоскости α, то

Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0, , ), причем х называется абсциссой, а у – ординатой

(записывается: М(х,у)). Вектор называется радиус-вектором точки М, числа х, у - координатами вектора (записывается: =(х,у)).

Афинная система координат (0, , ) обозначается также OXY. Ось ОХ называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат.

Теорема. Пусть = , где

.

Тогда

Следствие 1. Пусть даны точки А (х ₁, y ₁) и В (х ₂, у ₂). Тогда

Следствие 2. Два вектора = (х ₁, у ₁) и = (х ₂, у ₁) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, то есть

.

Афинная система координат (0, , ), в которой орты и взаимно ортогональны, называется декартовой, или прямоугольной системой координат. В этом случае орты и обозначаются соответственно и .

Координаты в пространстве.

 

Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами , , соответственно. Тогда четверка (0, , , ) называется афинным репером, или афинной системой координат в пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы , , - базисные векторы.

Так как векторы , , - линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

= x + y + z

Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х, у, z)), называется радиус-вектором точки М с координатами х, у, z (записывается: = (х, у, z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными октантами.

Если упорядоченная тройка векторов , , является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы , , попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .

В частности, если даны точки А (х ₁, у ₁, z ₁), В (х ₂, у ₂, z ₂), то

Векторы = (х₁,у₁,z₁) и = (х₂,у₂,z₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.