Скалярное произведение векторов в координатной форме.

 

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:

= (х₁,у₁,z₁), = (х₂,у₂,z₂). Тогда

 

∙ = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

В частности

Если даны точки А(х₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂), то, как известно, =(x₂-х₁,y₂-у₁,z₂-z₁) и значит.

 

-формула расстояния между двумя точками.

 

Так как , то

и тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

 

х ₁ x ₂ + y ₁ y ₂ + z ₁ z ₂ = 0.

 

 

Определители второго и третьего порядков

 

Определение. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:

 

 

называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента а _ij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

 

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:

 

Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:

 

 

 

Для матрицы А третьего порядка, где

ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:

Δ = а ₁₁ а ₂₂ а ₃₃ + а ₁₂ а ₂₃ а ₃₁ + а ₁₃ а ₂₁ а ₃₂ – а ₁₃ а ₂₂ а ₃₁ – а ₁₁ а ₂₃ а ₃₂ – а ₁₂ а ₂₁ а ₃₃.

 

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком "+", а какие со знаком "–", полезно использовать следующее правило треугольников:

 

 

Легко проверить, что

=

- разложение определителя по элементам первой строки.

 

Векторное произведение векторов в координатной форме.

 

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы

= (x ₁, y ₁, z ₁), = (x ₂, у ₂, z ₂). Тогда

 

´

 

 

Последнее равенство можно записать так:

 

 

Итак,

 

Тогда

 

 

Смешанное произведение векторов в координатной форме.

 

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы

= (х ₁, у ₁, z ₁), = (x ₂, y ₂, z ₂) и = (x ₃, y ₃, z ₃). Тогда

 

 

Отсюда следует, что векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

 

=0

 

Полярные координаты.

Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами: r -длина отрезка ОМ и φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки.

Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r- полярный радиус, φ- полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: . Таким образом, получаем систему координат, которая называется полярной системой координат.

С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями:

х = r cosφ, у = r sinφ.

 

Так как х ² + у ² = r ², то

Прямоугольные координаты на плоскости.

Пусть дана старая и новая прямоугольные системы координат, соответственно (0, , ) и (О', ', '). Обозначив через φ угол между векторами и '. Тогда

x = x 'cosφ - y 'sinφ + α,

y = x 'sinφ + y 'cosφ + β

 

В частности, если = ' и = ', то формулы принимают вид

 

x = х ' + α, у = у ' + β

- формулу преобразования координат при параллельном переносе системы координат

Если же точки 0 и 0' совпадают, то

x = x 'cosφ - y 'sinφ,

y = x 'sinφ + y 'cosφ.

 

- формулы преобразования координат при повороте системы координат вокруг начала на угол φ

 

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

 

Прямая на плоскости

 

Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0, , ) и прямая l, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m₁,n₁) и =(m₂,n₂) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов

 

следует, что Если прямая l не параллельна оси OY, то следовательно,

- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.

В частности, для прямоугольной системы координат (0, )

k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.

Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению

x = a

- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0,р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.

Пусть прямая l проходит через точку A (а, b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х, у) на прямой l. Тогда =(х - а, у - b) - направляющий вектор прямой l.

Следовательно,

Отсюда

y – b = k (x - а)

-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.