Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Пусть точки А(x ₁, y ₁, z ₁), B(x ₂, y ₂, z ₂), C(x ₃, y ₃, z ₃) принадлежат плоскости α.

 

Тогда

 

- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

 

Нормальное уравнение плоскости

Пусть задана плоскость α и пусть - единичный, вектор нормали к плоскости α проведенный из начала координат. Обозначим р - расстояние от начала координат до плоскости α.

Для любой точки М(х, у, z) α

=p

Так как = (х, у, z),

= (cosα, cosβ, cosγ), где α, β, γ – углы, образованные вектором соответственно с осями OX, OY и 0Z, то отсюда получаем

x cosα + y cosβ + z созγ – p = 0

– нормальное равнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

 

Обозначим через d расстояние от точки M₀(x ₀, y ₀, z ₀) до плоскости α, заданной общим уравнением вида (*).

Тогда

 

Взаимное расположение двух плоскостей

 

Пусть плоскости α₁ и α₂ заданы уравнениями:

 

α₁: А₁ х + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

α₂: А₂ х + В₂ y + С₂ z + D₂ = 0.

 

Теорема. Тогда и только тогда плоскости α₁ и α₂:

1) совпадают, когда А₁=λA₂, B₁=λB₂, C₁=λC₂, D₁=λD₂;

2) параллельны и различны, когда A₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁=λС₂, D₁ λD₂;

3)пересекаются, когда коэффициенты А₁, В₁, С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂

 

Пучок и связка плоскостей

 

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.

Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересекающиеся плоскости α₁ и α₂.

 

Тогда уравнение пучка имеет вид

А₁ х + B₁ y + C₁ z + D₁ + λ(A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂) = 0, где λ R.

 

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S₀ (x ₀, y ₀, z ₀) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S₀ имеет вид

А(х - x ₀) + В(у - y ₀) + С(z ­­- z ₀) = 0,

где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.

 

Угол между двумя плоскостями

 

Пусть даны плоскости α₁ и α₂ своими общими уравнениями. Тогда под углом φ между плоскостями α₁ и α₂ понимают наименьший угол, на который надо повернуть одну из плоскостей до ее совпадения с другой плоскостью. Поэтому . Очевидно, что либо φ=( ^, ), либо φ= (- ^, ), где и - нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ соответственно. В любом случае

 

 

В частности, если φ = π/2, то

 

А₁A₂ + В₁B₂ + С₁C₂ = 0

 

- условие перпендикулярности двух плоскостей.

 

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Уравнение прямой в пространстве

 

Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α₁ и α₂. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений

 

(1)

- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.

 

Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m, n, р) и точкой М₀(х ₀, у ₀, z ₀), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х, у, z) l. Тогда и, значит,

Переходя к координатам, получим

x - x ₀ = tm, y - y ₀ = tn, z - z ₀ = tp

- параметрические уравнение прямой.

Выражая параметр t, получим

 

 

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М₀(х₀ y₀,z₀) параллельно вектору =(m,n,р).

 

Последнее уравнение равносильно

 

- общее уравнение прямой.

 

Пусть M₁{ x ₁, у ₁, z ₁) и М₂(х ₂, у ₂, z ₂) – точки прямой. Тогда

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

 

Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.

Взяв произвольную точку М₀(х₀,у₀,z₀) прямой получаем

 

- каноническое уравнение прямой.

 

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

 

Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы каноническими уравнениями

 

 

Обозначим = = (х ₂- x ₁, y ₂- у ₁, z ₂- z ₁), =(m ₁, n ₁, р),

= (m ₂, n ₂, р ₂).

1) если прямые совпадают, то все три вектора , , коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а вектор им не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , , не коллинеарны, и все три вектора компланарны.

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы , , некомпланарны.

 

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности, прямых l ₁ и l ₂ равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

Следовательно,

 

 

- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

m ₁ m ₂ + n ₁ n ₂ + p ₁ p ₂ = 0

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l ₁ и l ₂ пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо ( ^, ) либо (- ^, ). Следовательно,

Расстояние от точки до прямой в пространстве

 

Расстояние d от точки M₁(x ₁, у ₁, z ₁) до данной прямой , проходящей через точку M₀(х ₀, у ₀, z ₀) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так .