Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки



Пусть точки А(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), C(x 3, y 3, z 3) принадлежат плоскости α.

 

Тогда

 

- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

 

Нормальное уравнение плоскости

Пусть задана плоскость α и пусть - единичный, вектор нормали к плоскости α проведенный из начала координат. Обозначим р - расстояние от начала координат до плоскости α.

Для любой точки М(х, у, z) α

=p

Так как = (х, у, z),

= (cosα, cosβ, cosγ), где α, β, γ – углы, образованные вектором соответственно с осями OX, OY и 0Z, то отсюда получаем

x cosα + y cosβ + z созγ – p = 0

нормальное равнение плоскости.


Расстояние от точки до плоскости

 

Обозначим через d расстояние от точки M0(x 0, y 0, z 0) до плоскости α, заданной общим уравнением вида (*).

Тогда

 

Взаимное расположение двух плоскостей

 

Пусть плоскости α1 и α2 заданы уравнениями:

 

α1: А1 х + B1y + C1z + D1 = 0,

α2: А2 х + В2 y + С2 z + D2 = 0.

 

Теорема. Тогда и только тогда плоскости α1 и α2:

1) совпадают, когда А1=λA2, B1=λB2, C1=λC2, D1=λD2;

2) параллельны и различны, когда A1=λA2, В1=λВ2, С1=λС2, D1 λD2;

3)пересекаются, когда коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2

 

Пучок и связка плоскостей

 

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.

Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересекающиеся плоскости α1 и α2.

 

Тогда уравнение пучка имеет вид

А1 х + B1 y + C1 z + D1 + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2) = 0, где λ R.

 

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S0 (x 0, y 0, z 0) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S0 имеет вид

А(х - x 0) + В(у - y 0) + С(z ­­- z 0) = 0,

где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.

 

Угол между двумя плоскостями

 

Пусть даны плоскости α1 и α2 своими общими уравнениями. Тогда под углом φ между плоскостями α1 и α2 понимают наименьший угол, на который надо повернуть одну из плоскостей до ее совпадения с другой плоскостью. Поэтому . Очевидно, что либо φ=( ^, ), либо φ= (- ^, ), где и - нормальные векторы плоскостей α1 и α2 соответственно. В любом случае

 

 

В частности, если φ = π/2, то

 

А1A2 + В1B2 + С1C2 = 0

 

- условие перпендикулярности двух плоскостей.

 

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Уравнение прямой в пространстве

 

Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α1 и α2. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений

 

(1)

- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.

 

Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m, n, р) и точкой М0(х 0, у 0, z 0), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х, у, z) l. Тогда и, значит,

Переходя к координатам, получим

x - x 0 = tm, y - y 0 = tn, z - z 0 = tp

- параметрические уравнение прямой.

Выражая параметр t, получим

 

 

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М00 y0,z0) параллельно вектору =(m,n,р).

 

Последнее уравнение равносильно

 

- общее уравнение прямой.

 

Пусть M1{ x 1, у 1, z 1) и М2(х 2, у 2, z 2) – точки прямой. Тогда

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

 

Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.

Взяв произвольную точку М000,z0) прямой получаем

 

- каноническое уравнение прямой.

 

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

 

Пусть прямые l 1 и l 2 заданы каноническими уравнениями

 

 

Обозначим = = (х 2- x 1, y 2- у 1, z 2- z 1), =(m 1, n 1, р),

= (m 2, n 2, р 2).

1) если прямые совпадают, то все три вектора , , коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а вектор им не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , , не коллинеарны, и все три вектора компланарны.

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы , , некомпланарны.

 

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности, прямых l 1 и l 2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

Следовательно,

 

 

- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l 1 и l 2 пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо ( ^, ) либо (- ^, ). Следовательно,

Расстояние от точки до прямой в пространстве

 

Расстояние d от точки M1(x 1, у 1, z 1) до данной прямой , проходящей через точку M0(х 0, у 0, z 0) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так .



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 319; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.117.191 (0.021 с.)