Линейные операции над векторами.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Линейные операции над векторами.



А.Д. Ходалевич

Р.В. Бородич

В.Н. Рыжик

«Аналитическая геометрия »

Тексты лекций

Гомель, 2004

УДК 514 (078)

ББК 22.151 Я73

Х 69

 

Рецензенты: Семенчук В.Н. – профессор, доктор физико-математических наук кафедра высшей математики учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

 

 

Рекомендован к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 24 марта 2004 года, протокол № 7

 

Ходалевич А.Д.

Х 69 Аналитическая геометрия: Тексты лекций. /А.Д.Ходалевич,

Р.В.Бородич, В.Н. Рыжик. − Гомель: УО «ГГУ им. Ф.Скорины»; 2004 − 65с.

 

 

Дается краткое изложение курса лекций по аналитической геометрии для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика»

 

УДК 514 (078)

ББК 22.151 Я73

Х 69

 

 

© А.Д. Ходалевич, Р.В. Бородич, В.Н. Рыжик, 2004

© Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины», 2004

 


СОДЕРЖАНИЕ

 

 

1. Векторы и координаты………………………………….…4

2. Прямая на плоскости………………………………………20

3. Плоскость…………………………………………………...25

4. Прямая в пространстве. Взаимное расположение

прямой и плоскости в пространстве…………………………29

5. Кривые второго порядка…………………………………...33

6. Поверхности второго порядка……………………………..56

 

Литература………………………………………………….….64

 

 


Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических мето­дов, в основе которых лежит понятие координат.

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Понятие вектора

Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым кваратом А называется множество

A2 =

Бинарным отношением на А называется любое подмножество множества A2.

Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение на А, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) (рефлексивность);

2) если ( ,b) то (b, ) (симметричность);

3) если ( ,b) то ( ,c) (транзитивность).

 

Теорема.Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.

 

Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается .

Пусть заданы направленные отрезки и , не лежащие на двух различных параллельных прямых, и плоскость , проходящая через точки В и D. Тогда плоскость разбивает все пространство на два полупространства. Если при этом точки B и D лежат в одном полупространстве, то говорят, что направленные отрезки и одинаково направлены (обозначается ). В противном случае, они называются противоположно направленными (обозначается ).

Если направленные отрезки и лежат на одной прямой, то они одинаково (противоположно) направлены, если существует такой третий направленный отрезок , который одинаково направлен с каждым из направленных отрезков и (противоположно направлен в точности с одним из направленных отрезков или ).

Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка называется длина этого направленного отрезка и обозначается | |.

Два направленных отрезка и называются равными, если и , при этом пишут = ,

 

Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.

 

Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.

Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.

 

Векторы и называются коллинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается || ).

Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.

Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом (обозначается ). Направление нулевого вектора не определено.

 

Проекции.

 

Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.

 

Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А1. Тогда точка А1 называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α l, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А1 и В1 точек А и В на ось l относительно плоскости α.

Тогда вектор называется проекциейвектора на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на ось l относительно плоскости α называется число, равное:

а) | |, если направление вектора совпадает с направлением оси l;

б) - | |, если направление противоположно направлено оси l.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на ось l будем обозначать Прl , а для ортогональной проекции использовать обозначение прl .

Пусть α - некоторая плоскость и l – прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l1 || l и обозначим точку пересечения прямой l1 с плоскостью α через А1. Точка А1 называется проекциейточки А наплоскость α относительнопрямой l.

Если прямая l α, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.

Из определения следует, что 0 α π. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать соответственно: ( ), ( ), ( ).

 

Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:

1) ;

2)

3) .

 

1) 2)

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый ´ и удовлетворяющий следующим условиям:

1) | |=| |×| |×sin ( ^, );

2) ^ , ^ ;

3) векторы , , образуют правую тройку векторов.

 

Координаты на прямой.

Прямая l, на которой задана точка 0, называемая началомкоординат, задан единичный вектор , называемый ортом, называется координатнойосью.

Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-

 

линеарен вектору и, значит, . Вектор называется радиус-вектором точки М, а число х называется координатойточки М на координатной оси l (обозначается: М(х)) или координатой радиус-вектора (обозначается: =(х)).

Так как - единичный вектор, то каждой точке М на оси l поставлено в соответствие вполне определенное действительное число – ее координата.

Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, координата которой равна х. Таким образом, положение любой точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.

 

Координаты на плоскости.

 

Пусть на плоскости α заданы две координатные оси ОХ и OY с

неколлинеарными ортами и cоответственно. Тогда тройка (О, , ) называется афинным репером, или афинной системой координат плоскости α.

Точка 0 называется началом кооpдинат, векторы и базисными векторами. Если М – произвольная точка на плоскости α, то

Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0, , ), причем х называется абсциссой, а у – ординатой

(записывается: М(х,у)). Вектор называется радиус-вектором точки М, числа х, у - координатами вектора (записывается: =(х,у)).

Афинная система координат (0, , ) обозначается также OXY. Ось ОХ называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат.

Теорема. Пусть = , где

.

Тогда

Следствие 1. Пусть даны точки А (х1,y1) и В (х2,у2). Тогда

Следствие 2. Два вектора = (х1,у1) и = (х2,у1) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, то есть

.

Афинная система координат (0, , ), в которой орты и взаимно ортогональны, называется декартовой, или прямоугольной системой координат. В этом случае орты и обозначаются соответственно и .

Координаты в пространстве.

 

Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами , , соответственно. Тогда четверка (0, , , ) называется афинным репером, или афинной системой координат в пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы , , - базисные векторы.

Так как векторы , , - линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

= x +y +z

Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х,у,z)), называется радиус-вектором точки М с координатами х, у, z (записывается: = (х,у,z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными октантами.

Если упорядоченная тройка векторов , , является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы , , попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .

В частности, если даны точки А (х1,у1,z1), В (х2,у2,z2), то

Векторы = (х11,z1) и = (х22,z2) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

 

Полярные координаты.

Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами: r -длина отрезка ОМ и φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки.

Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r-полярный радиус, φ-полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: . Таким образом, получаем систему координат, которая называется полярной системой координат.

С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями:

х = r cosφ, у = r sinφ.

 

Так как х2 + у2 = r2, то

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

 

Прямая на плоскости

 

Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0, , ) и прямая l, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m1,n1) и =(m2,n2) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов

 

следует, что Если прямая l не параллельна оси OY, то следовательно,

- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.

В частности, для прямоугольной системы координат (0, )

k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.

Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению

x = a

- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0,р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.

Пусть прямая l проходит через точку A (а,b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х,у) на прямой l. Тогда =(х-а, у-b) - направляющий вектор прямой l.

Следовательно,

Отсюда

yb = k (x-а)

-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

Пучок прямых

 

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l1 и l2 , проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l1 и l2 заданы уравнениями

l1: A1x + B1y + C1 = 0,

l2: A2x + B2y + C2 = 0.

 

Уравнение:

A1x + B1y + С + λ (A2х + В2y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2

 

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

 

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l1 и l2 будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £

 

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

 

cosφ=

 

Пусть теперь прямые l1 и l2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k1 в k2 соответственно. Тогда

Наконец, если и - направляющие вектора прямых, то

 


ПЛОСКОСТЬ

 

Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М0(х0,у0,z0). Возьмем произвольную точку М(х,у,z) α и обозначим (А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х-х0) + В(у-у0) + C(z-z0) = 0

Раскроем скобки и обозначим D= -Аx0 - Ву0 - Cz0. Получим

 

Ax + By + Сz + D = 0 (*)

 

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

 

Теорема. Линейное уравнение (*) (A2+B2+C2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

 

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

 

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

 

 

Пучок и связка плоскостей

 

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.

Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересекающиеся плоскости α1 и α2 .

 

Тогда уравнение пучка имеет вид

А1х + B1y + C1z + D1 + λ(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, где λ R.

 

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S0 (x0,y0,z0) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S0 имеет вид

А(х-x0) + В(у-y0) + С(z­­-z0) = 0,

где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.

 

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Парабола

 

Определение:Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:

y2 = 2px , p>0 (1)

- каноническое уравнение параболы.

Свойства параболы непосредственно следуют из свойств уравнения:

1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна

2.Парабола проходит через начало координат.

3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.

Точка F( ;0) называется фокусом параболы, прямая - директрисой.

Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.

 

Эллипс

Определение.Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а (а>0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ

 

проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2.

Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2а, а>с.

 

Так как , и уравнение принимает вид:

. (2)

Пусть координаты точки М111)удовлетворяют уравнению (2).

Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2a.

Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.

1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-а,0), А2(а,0), В1(0,b), В2(0,-b), называемых вершинами эллипса.

3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х= а, у = b.

4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.

По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной а и отрезок ОВ1 с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр эллипса.

Если а=b, то получаем каноническое уравнение окружности

 

Уравнения х = acost, у = bsint -

параметрические уравнения эллипса.

 

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса

совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.

.

 

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:

 

r1=а+εх, r2=а—εх

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а, а>0, меньшая чем расстояние между фокусами.

Выберем декартову прямо-угольную систему координат ОХY так, как показано на рисунке. Тогда F1F2=2с, F1(—с,0), F2(c,0).

Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей гиперболе, имеем МF1—MF2= 2а, а<с.

 

Обозначим с2-а2=b2, тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:

 

(3)

 

По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:

 

1. Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (3) решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(—а,0), А2(а,0), называемых вершинами гиперболы.

3. Так как

,

то |х| а. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x= а.

4. Если x возрастает от а до + , то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

5.

- наклонные асимптоты гиперболы.

По полученным свойствам строим гиперболу. Отрезок А1А2 и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА1 и его длина адействительной полуосью. Отрезок В1В2 и его длина 2bмнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ1 и его длина bмнимая полуось. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.

 

x2у2=а2

 

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина

.

 

Так как для гиперболы с > а, и следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.

 

Линии параболического типа

Пусть КВП задана уравнением вида (1) и является кривой

параболического типа, т.е. I2=О. Тогда I1 О. Действительно,

если I111+a22=О, то I12112222+2a11a22=О, т.е.

 

(*)

 

Так как I2=a11a22—а122=О, то из (*) следует, что -(a112/2) -(а222/2)=а122.. Значит, a11=a22=a12=0 – противоречие с тем, что уравнение (1) — уравнение кривой второго порядка.

Заметим, что если в уравнении (1) а12 О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (14)

 

Так как I1=а'1122 О, I2=a'11а'22=О, то один из коэффициентов a'11 и а'22 равен нулю, а другой не равен нулю.

Будем считать, что а'11=О, а'22 0 (случай а'11 О, a'22=0

рассматривается аналогично). Тогда I1=a'22 и уравнение (14)

можно записать так:

 

(25)

 

Осуществим теперь параллельный перенос:

 

, т.е.

. (26)

Тогда x"=x' и у"=у'+а'23/I1. Значит, в новой системе координат

О"Х"У" уравнение КВП примет вид:

 

(27)

 

где

 

Теорема. Пусть уравнение (1) — есть уравнение параболического типа. Тогда при I3 0 это уравнение параболы, а при I3=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.

 

Доказательство. Итак, для уравнения (1)

 

(28)

Так как I1 О, то при I3 0 следует, что а"13 О, а при I3=0 получаем, что а"13=О. Тогда уравнение (27) можно записать так

при I3


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.212.116 (0.014 с.)