Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые



 

Пусть плоскость α проходят через прямые l 1 и l 2, заданные соответственно уравнениями:

 

, (2)

 

Обозначим М2(x 2, y 2, z 2), =(m 1, n 1, р 1), =(m 2, n 2, p 2) и М(х, у, z) произвольная точка плоскости α

Тогда

 

- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.


Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l 1 и l 2, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α1 и α2, где плоскости α1 и α2 одновременно параллельны векторам и , и проходят соответственно через прямые l 1 и l 2

Тогда

 

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: A x + B y + C z + D = 0.

 

 

1) прямая l лежит в плоскости α, если

 

A m + B n + С р = 0,

А x 0 + В у 0 + C z 0 + D = 0.

2) прямая l параллельна плоскости α, если

 

A m + B n + Ср = О,

А x 0 + В у 0 + C z 0 + D ≠ 0.

 

3) прямая l пересекает плоскость α если

 

A m + В n + С р 0.

 

Угол между прямой и плоскостью

 

Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l 1 на плоскость α

 

Тогда и

.

 

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Парабола

 

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:

y2 = 2px, p>0 (1)

- каноническое уравнение параболы.

Свойства параболы непосредственно следуют из свойств уравнения:

1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна

2.Парабола проходит через начало координат.

3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.

Точка F(;0) называется фокусом параболы, прямая - директрисой.

Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.

 

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2 а (а >0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ

 

проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2.

Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2 а, а >с.

 

Так как , и уравнение принимает вид:

. (2)

Пусть координаты точки М111)удовлетворяют уравнению (2).

Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2 a.

Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.

1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(- а,0), А2(а,0), В1(0, b), В2(0,- b), называемых вершинами эллипса.

3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х= а, у = b.

4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.

По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2 а называются большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2 b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной а и отрезок ОВ1 с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2 с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр эллипса.

Если а = b, то получаем каноническое уравнение окружности

 

Уравнения х = a cost, у = b sint -

параметрические уравнения эллипса.

 

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с< а, то 0< c <1. Заметим, что у окружности оба фокуса

совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.

.

 

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:

 

r1= а +εх, r2= а —εх

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2 а, а >0, меньшая чем расстояние между фокусами.

Выберем декартову прямо-угольную систему координат ОХY так, как показано на рисунке. Тогда F1F2=2 с, F1(— с,0), F2(c,0).

Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей гиперболе, имеем МF1—MF2= 2 а, а < с.

 

Обозначим с 2- а 2= b 2, тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:

 

(3)

 

По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:

 

1. Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (3) решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(— а, 0), А2(а,0), называемых вершинами гиперболы.

3. Так как

,

то |х| а. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x= а.

4. Если x возрастает от а до + , то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

5.

- наклонные асимптоты гиперболы.

По полученным свойствам строим гиперболу. Отрезок А1А2 и его длина 2 а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА1 и его длина адействительной полуосью. Отрезок В1В2 и его длина 2 bмнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ1 и его длина bмнимая полуось. Длина отрезка F1F2=2 с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.

 

x 2у 2= а 2

 

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина

.

 

Так как для гиперболы с > а, и следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 3537; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.117.191 (0.026 с.)