Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направляющий вектор = (m,n) и точка M₀ (x ₀, y ₀) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x, у) этой прямой имеем

и так как то .

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M иM₀, то

параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

 

 

Вычисление расстояния отточки до прямой.

Расстояние d от точки М₀ до прямой l есть длина перпендикуляра, проведенного из точки М₀ к прямой. Пусть задана прямоугольная система координат Оху. Тогда отклонением точки М₀(х_0,у₀) от прямой ax+by+c=0, a²+b²≠0 называется величина .

Расстояние от точки М₀(х_0,у₀) до прямой ax+by+c=0 вычисляется по формуле .

Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ? С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пучок прямых.

Пучком прямых на плоскости наз. совокупность прямых, проходящих через фиксированную точку – центр пучка.

Пусть ур. a₁x+b₁y+c₁=0

a₂x+b₂y+c₂=0, задают две различные параллельные прямые, пересекающиеся в точке S. Множество всех прямых, проходящих через точку S, наз. пучком прямых. Уравнение a₁x+b₁y+c₁+λ(a₂x+b₂y+c₂)=0 задаёт некоторую прямую пучка и, обратно: любая прямая пучка, отличная от прямой a₂x+b₂y+c₂=0, может быть задана ур. a₁x+b₁y+c₁+λ(a₂x+b₂y+c₂)=0.

Общее уравнение плоскости.

В прямоугольной декартовой декартовой системе координат Ох,у,z любая плоскость определяется уравнением вида ax+by+cz+d=0, где коэффициенты при неизвестных а,в,с одновременно неравны нулю и явл. координатами нормального вектора n=( a,b,c ). Общее ур. наз. полным, если все ко-ты отличны от нуля. Неполные ур. показывают особенности расположения плоскости в системе.

Неполные уравнения.

Если в общем уравнении прямой (1)

один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1). С=0; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2). В=0; уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох.

3). В=0, С=0; уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.

4). А=0; уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу

5). А=0, С=0 уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.

Уравнение плоскости по трем точкам.

Пусть даны три точки М₁(x₁,y₁,z₁), М₂(x₂,y₂,z₂), М₃(x₃,y₃,z₃). Через три точки плоскость и только одна.

Составим ур. этой плоскости. Пусть М(x,y,z)-произвольная точка этой плоскости. Рассмотр. векторы М₁М( x- x₁,y-y₁,z-z₁ ), M₁M₂( x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁ ), M₁ M₃(x₃-x₁,y₃-y₁,z₃-z₁)

Векторы М₁М, М₁М_2, М₁М₃ – комплонарны, поэтому по признаку комплонарности их смешанное произведение равно нулю.

Этот определитель представляет ур.плоскости по трем её точкам.

51.Уравнение плоскости "в отрезках".

Любое полное общее уравнение плоскости преобразуется к виду которое наз. уравнением плоскости отрезков. Числа a’,b’,c’ дают отрезки, отсекаемые плоскостью от начала координат на соответствующих осях Ох, Оу, Оz. Используется ур. для быстрого построения плоскости в системе координат.

Параметрические уравнения плоскости.

В векторном виде

В координатах

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть М₀(x₀,y₀,z₀) и плоскость заданы общим ур. ax+by+cz+d=0. Расстояние от точки до плоскости находится также, как расстояние от точки до прямой на плоскости.

Т. Расстояние от точки М₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по формуле .

Приведение общего уравнения плоскости к нормированному.

где - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду: . Здесь - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знаку D, если произвольно, если D = 0.

Пучок плоскостей.

Совокупность всех плоскостей проходящих через одну и туже прямую l наз. пучком плоскостей с центром l.

Т. Пусть a₁x+b₁y+c₁z+d₁=0 и a₂x+b₂y+c₂z+d₂=0 уравнения двух плоскостей пересекающихся по прямой l. Для любых действительных чисел 𝛂 и 𝛃 неравных нулю уравнение 𝛂(a₁x+b₁y+c₁z+d₁)+𝛃(a₂x+b₂y+c₂z+d₂)=0(*) определяет плоскость проходящую через прямую l и, обратно: всякая плоскость проходящая через l определяется ур.(*) при подходящих значениях 𝛂 и 𝛃.

57.Связка плоскостей.

Совокупность всех плоскостей проходящих через М₀ наз. связкой плоскостей с центром в точке М₀.

Т. При любых ко-тах а,в,с неравных одновременно неравных нулю ур. вида a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0(*) определяет плоскость проходящую через точку М₀(x₀,y₀,z₀) и, обратно: любое ур. вида(*)определяет плоскость проходящую через точку М_0.

58.Общие уравнения прямой в пространстве.

Прямую линию в пространстве рассматривают как пересечение двух различных плоскостей. Координаты точек линии пересечения удовлетворяют ур. каждой пересекающейся плоскости, т.е. координаты точек прямой удовлетворяют системе ур. двух пересекающихся плоскостей. Подчеркнём, что любая линия в пространстве задаётся системой уравнений поверхностей при пересечении которых образуется линия. Если a₁x+b₁y+c₁z+d₁=0 – ур. первой плоскости и a₂x+b₂y+c₂z+d₂=0 – ур. второй плоскости,

то система вида , наз. общим уравнением прямой в пространстве.

59.Канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть прямая проходит через фиксированную точку М₀(x₀,y₀,z₀) параллельно направляющему вектору q (l,m,n).

Сост. ее ур. Пусть М(x,y,z)-произвольная точка прямой. Рассмотрим вектор М₀М= (x-x₀,y-y₀,z-z₀).

М₀М коллинеарен q, поэтому их соотв. координаты пропорциональны, т.е. справедливо равенство . Полученное равенство наз. каноническим ур. прямой в пространстве.

Свойства линейных операций.

1.слож-е м-ц коммутативно, т.е А+В=В+А

2.слож-е м-ц ассоциативно,т.е (А+В)+С=А+(В+С)

3.А+0=А, где 0- нулева м-ца одинак-я с А порядка

4.Для " А $ противопол-ная м-ца -А такая, что А+(-А)=0

Св-во умножения на число:

5. 1 × А=А

6. l(bА)=(lb)А

Две линейные операции связаны дистрибутивными законами

7.(a+b)А=aA+bВ

8.a(А+В)=aА+aВ

Свойства определителей.

1. Каков бы ни был номер строки опр-ля, справедл. ф-ла÷А÷ =(-1)ⁱ⁺¹ a_i1M_i1+(-1)ⁱ+2 a_i2M_i2+...+(-1)ⁱ⁺ⁿ a_inM_in,т.е. опр-ль разлаг-ся по кажд. своей строке.÷A÷= S (-1)^i+j a_ijM_ij

2. Опр-ль разлаг-ся по кажд. j-тому ст-цу м-цы, т.е. опр-ль÷A÷ =(-1)^1+j a_1jM_1j+(-1)^2+j a_2jM_2j+...+(-1)^n+j a_ijM_ij

Опр.: М-ца А^т наз. транспонированной м-цей к м-це А, если эл-т (i,j)м-цы А явл. (i,j)-тым эл-том м-цы А^т, т.е. если эл-т а_ij стоит в j-том столбце и i-той стр.,то в м-це А^т этот эл-нт нах-ся в j-той стр. и i-том столбце.

3. При транспонир. кв. м-цы опр-ль не меняется, т.е. опр-ль м-цы А = опр-лю м-цы А^т.

4. При перестановке местами двух любых строк м-цы (столбц) опр-ль сохран. абсол-ую величину, но меняет знак на противоположн.

Опр. Известное определен.линейной завис-ти для векторов справедливо также и для строк (столбцов) м-цы.

5. Если в м-це А i-тая строка (столбец) явл. линейной комбинац. строк В=(b₁,b₂,...,b_n) и С=(с₁,с₂,...,с_n) с коэф-ми a,b,то÷A÷=÷A÷+÷A₂÷, где А₁- м-ца, получ. из м-цы А заменой её i-той строки строкой В,а м-ца А₂ получ. из м-цы А заменой её i-той стр. строкой С.

6. Если в кв. м-це есть 2 одинак. строки (столбца), то опр-ль этой м-цы =0.

7. Если строку (столбец) опр-ля умнож. на какое-то число, то опр-ль тоже умн-ся на это число.

8. Если все эл-ты какой-то стр. (столбца) = 0, то опр-ль м-цы=0.

9. Если эл-ты двух строк (столбцов) соответственно пропорц-ны, то опр-ль м-цы =0.

10. Если к эл-там некоторой строки опр-ля прибавить соотв-щие эл-ты др. строки м-цы, умнож-ные на число х, то опр-ль не изменится, то же для столбцов.

Опр. Алгебраич-ким дополнением эл-та aij кв. м-цы А наз-ся число, обозн. Аij=(-1)^i+j Mij

Т-ма об алгабраич. дополнениях: Сумма произведений любой строки м-цы на соотв-щие алгебраические дополнения эл-тов др. строки этой м-цы=0

Система линейных уравнений. Основные понятия.

Опр. Системой лин. алгеброич. ур-й с неизвестными х₁,х₂...,х_n

наз. совок. ур-й: a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1n x_n=b₁

a₂₁x₂+a₂₂x₂+...+a_2n x_n= b₂

a_m1x₁+a_m2x₂+...+a_mnx_n=b_n

Опр. Если число ур-й совпадает с числом неизв-ых, т.е m=n, то

система наз-ся квадратной

Опр. Число a_ij, где i-номер ур-я, j-номер неизвестного наз. коэ-том при неизвестных числа b₁,b₂...,b_m-свободным членом.

Опр. Система имеющая хоты бы одно решение, наз-ся совместной, система неимеющая ни одного реш. наз. несовм.

Опр. Система имеющая точно одно реш-е наз. опр-ой.

Опр. Система имеющая более одного реш-я наз. неопр-ой.

Опр. Две системы наз-ся эквивал-ми, если все реш-я одной из них также явл-ся реш-ями другой и обратно.

Опр. Элементарными преобразованиями системы наз-ся:

1.замена местами любого ур-я системы.:

2.умножение ур-й на любые числа отличные от нуля.

3.прибав-е один одному ур-ю другого, умнож-е на любое число

Опр. Прямоуг-я таблица,состоящая из коэ-тов при неизвестных системы 1 наз-ся осн-ой м-цей системы.

a₁₁ a₁₂...a_1n

А= a₂₁ a₂₂...a_2n -основная м-ца.

a_m1 a_m2..a_mn

Опр. Таблица,сост. из свободн.членов, наз-ся столбцом св.чл.

Теорема Крамера.

Если определитель основной матрицы квадратной линейной системы уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находиться по формуле , ∆ - определитель основной матрицы, полученной из основной замены итого столбца, столбцов свободных членов.

Метод Гаусса.

Теорема Крамера применяектся только к кв. системам, и только в случае, когда опр-ль осн. м-цы А

Метод Гаусса применяется для люб. систмы- это один из гл. методов реш-я систем.

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных. С пом. элементарных преобразований строк расширенной м-цы D системы приводят к ступенчатому виду м-цу А системы:

c₁₁ c₁₂...c_1r...c_1n d₁

c₂₁ c₂₂...c_2r...c_2n d₂

.................

0 0... c_rr... c_rn d_r

0 0... 0... 0 d_r+1

................

0 0... 0... 0 d_m

(c_iir). если среди чисел d_r+1, d_r+2..., d_m есть отличные от нуля, то система несовместна Если d_r+1=d_r+2=...= d_m=0, то:

1. при r=n исходная система равносильна системе

c₁₁x₁+c₁₂x₂+...+c_1nx_n=d₁

c₂₂x₂+...+c_2nx_n=d₂

..................

c_nnx_n=d_n

имеющей единственное реш-е (находим сначала из последнего ур-я x_n, из предпоследнего x_n-1 и т.д. и из первого x₁)

2. при r<n исходная сист. равносильна системе

c₁₁x₁+c₁₂x₂+...+c_1rxr=d₁-c_1r+1x_r+1-...-c_1nx_n

c₂₂x₂+...+c_2rx_r=d₂-c_2r+1x_r+1-...-c_2nx_n

.......................

c_rrx_r=d_r-c_rr+1x_r+1 -...-c_rnx_n

имеющий бесчисленное мн-во реш-й (x_r+1,x_r+2...x_n-свободные переменные).

Примеры линейных пространств.

Опр. Мн-во всех действит.чисел или мн-во всех комплекс.чисел будем наз. полем (Р). Не пустое мн-во эл-тов V наз. лин. пр-вом над полем Р, а его эл-ты наз-ся векторами обозн-мые х,у если вып-ся условия:

1.В мн-ве V опр-на алгебр. операция сложения, т.е. для любой пары эл-тов х,у ÎV $ единств.эл-т z ÎV кот.наз-ся суммой векторов у и х, т.е. х + у = z. Спр.оксиомы:

а)сложение векторов в мн-веVкоммутативно,т.е. х + у = у + х

б)ассоциативно, т.е (х + у)+ z = x +(y + z)

в) В мн-ве V $ нулевой эл-т, обозначаемый 0,такой, что для " х из пр-ва V, сумма х + 0 = х

г)для " вектора х из V $ противопол-ный ему эл-т –х Î мн-вуV такой, что сумма х +(- х)= 0

2.Определена операция умножения векторов из мн-ва Vна число из поля Р, т.е для" числа a из поля Р и "вектора х из V $ единств. вектор a х ÎР и наз-мый произ-ем х на a, при этом вып-ся оксиомы:

д)1× х = х для " х ÎР

е)для любых чисел a и b из поля Р и " х их мн-ва Vспр. рав-во: (ab) х =a(b+ х)

3.Операция сложения и умножения связаны дистрибутив.

соотношениями:

ж)для " х из V и любых a и b из поля Р; (a+b) х =a х +b х

з)для " a из Р и" х и у изV спр. рав-во:a(х + у)=a х +a у

Опр. ЕслиР- мн-во действ-ых чисел, то лин. пр-во V наз.

лин-ным действит. пр-вом.

Опр. Если Р- мн-во комплекс. чисел, то Vназ. компл. лин.

ПРИМЕР 1. Рассм. мн-во V={0} и рассм.Р- поле действит. чисел.

1. 0+0=0 принадлежит V, т.е. в данном мн-ве опр-на операция сложения. Оксиома: а)0+0=0+0; б)...;в)0; г)0+0=0

2. a× 0=0; a0Î V. Все остальные оксиомы легко проверяются, т.е. мн-во V, состоящее из одного 0, образует действит. лин. пр-во, оно наз. нулевым и обозн. 0- нулевое пр-во

ПРИМЕР 2. Рассм. мн-во V={...-2,-1,0,2...}

1. Т.к. сумма целых чисел всегда целое число и принадлежит V, то операция сложения в мн-ве V опр-на, при этом оксиомы а,б,в,г, выполняются.

2.т.к.произ-е целого числа на действ-ное не всегда дает целое число,то операция умнож. на число из поля Рне опр-на, поэтому мн-во всех целых чисел не явл. лин. пр-вом.

 

Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направляющий вектор = (m,n) и точка M₀ (x ₀, y ₀) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x, у) этой прямой имеем

и так как то .

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M иM₀, то

параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что