Параметрические уравнения прямой на плоскости.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Параметрические уравнения прямой на плоскости.



Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направляющий вектор = (m,n) и точка M0 (x0,y0) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем

и так как то .

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M иM0, то

параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

 

 

Вычисление расстояния отточки до прямой.

Расстояние d от точки М0 до прямой l есть длина перпендикуляра, проведенного из точки М0 к прямой. Пусть задана прямоугольная система координат Оху. Тогда отклонением точки М00,у0) от прямой ax+by+c=0, a2+b2≠0 называется величина .

Расстояние от точки М00,у0) до прямой ax+by+c=0 вычисляется по формуле .

Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ ? С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пучок прямых.

Пучком прямых на плоскости наз. совокупность прямых, проходящих через фиксированную точку – центр пучка.

Пусть ур. a1x+b1y+c1=0

a2x+b2y+c2=0, задают две различные параллельные прямые, пересекающиеся в точке S. Множество всех прямых, проходящих через точку S, наз. пучком прямых. Уравнение a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0 задаёт некоторую прямую пучка и, обратно: любая прямая пучка, отличная от прямой a2x+b2y+c2=0, может быть задана ур. a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0.

Общее уравнение плоскости.

В прямоугольной декартовой декартовой системе координат Ох,у,z любая плоскость определяется уравнением вида ax+by+cz+d=0, где коэффициенты при неизвестных а,в,с одновременно неравны нулю и явл. координатами нормального вектора n=(a,b,c).Общее ур. наз. полным, если все ко-ты отличны от нуля. Неполные ур. показывают особенности расположения плоскости в системе.

Неполные уравнения.

Если в общем уравнении прямой (1)

один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1). С=0; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2). В=0 ; уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох.

3). В=0, С=0 ; уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.

4). А=0 ; уравнение имеет вид и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу

5). А=0, С=0 уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.

Уравнение плоскости по трем точкам.

Пусть даны три точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Через три точки плоскость и только одна.

Составим ур. этой плоскости. Пусть М(x,y,z)-произвольная точка этой плоскости. Рассмотр. векторыМ1М(x- x1,y-y1,z-z1), M1M2(x2-x1,y2-y1,z2-z1), M1M3(x3-x1,y3-y1,z3-z1)

Векторы М1М, М1М2, М1М3 – комплонарны, поэтому по признаку комплонарности их смешанное произведение равно нулю.

Этот определитель представляет ур.плоскости по трем её точкам.

51.Уравнение плоскости "в отрезках".

Любое полное общее уравнение плоскости преобразуется к виду которое наз. уравнением плоскости отрезков. Числа a’,b’,c’ дают отрезки, отсекаемые плоскостью от начала координат на соответствующих осях Ох, Оу, Оz. Используется ур. для быстрого построения плоскости в системе координат.

Параметрические уравнения плоскости.

В векторном виде

В координатах

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть М0(x0,y0,z0) и плоскость заданы общим ур. ax+by+cz+d=0. Расстояние от точки до плоскости находится также, как расстояние от точки до прямой на плоскости.

Т. Расстояние от точки М0(x0,y0,z0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по формуле .

Приведение общего уравнения плоскости к нормированному.

где - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду: . Здесь - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знаку D, если произвольно, если D = 0.

Пучок плоскостей.

Совокупность всех плоскостей проходящих через одну и туже прямую l наз. пучком плоскостей с центром l.

Т. Пусть a1x+b1y+c1z+d1=0 и a2x+b2y+c2z+d2=0 уравнения двух плоскостей пересекающихся по прямой l. Для любых действительных чисел 𝛂 и 𝛃 неравных нулю уравнение 𝛂(a1x+b1y+c1z+d1)+𝛃(a2x+b2y+c2z+d2)=0(*) определяет плоскость проходящую через прямую l и, обратно: всякая плоскость проходящая через l определяется ур.(*) при подходящих значениях 𝛂 и 𝛃.

57.Связка плоскостей.

Совокупность всех плоскостей проходящих через М0 наз. связкой плоскостей с центром в точке М0.

Т. При любых ко-тах а,в,с неравных одновременно неравных нулю ур. вида a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0(*) определяет плоскость проходящую через точку М0(x0,y0,z0) и, обратно: любое ур. вида(*)определяет плоскость проходящую через точку М0.

58.Общие уравнения прямой в пространстве.

Прямую линию в пространстве рассматривают как пересечение двух различных плоскостей. Координаты точек линии пересечения удовлетворяют ур. каждой пересекающейся плоскости, т.е. координаты точек прямой удовлетворяют системе ур. двух пересекающихся плоскостей. Подчеркнём, что любая линия в пространстве задаётся системой уравнений поверхностей при пересечении которых образуется линия. Если a1x+b1y+c1z+d1=0 – ур. первой плоскости и a2x+b2y+c2z+d2=0 – ур. второй плоскости,

то система вида , наз. общим уравнением прямой в пространстве.

59.Канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть прямая проходит через фиксированную точку М0(x0,y0,z0) параллельно направляющему вектору q(l,m,n).

Сост. ее ур. Пусть М(x,y,z)-произвольная точка прямой. Рассмотрим вектор М0М=(x-x0,y-y0,z-z0).

М0Мколлинеарен q, поэтому их соотв. координаты пропорциональны, т.е. справедливо равенство .Полученное равенство наз. каноническим ур. прямой в пространстве.

Свойства линейных операций.

1.слож-е м-ц коммутативно, т.е А+В=В+А

2.слож-е м-ц ассоциативно,т.е (А+В)+С=А+(В+С)

3.А+0=А, где 0- нулева м-ца одинак-я с А порядка

4.Для " А $ противопол-ная м-ца -А такая, что А+(-А)=0

Св-во умножения на число:

5. 1 × А=А

6. l(bА)=(lb)А

Две линейные операции связаны дистрибутивными законами

7.(a+b)А=aA+bВ

8.a( А+В )=aА+aВ

Свойства определителей.

1. Каков бы ни был номер строки опр-ля, справедл. ф-ла÷А÷ =( -1)i+1 ai1Mi1+(-1)i+2 ai2Mi2+...+(-1)i+n ainMin ,т.е. опр-ль разлаг-ся по кажд. своей строке.÷A÷= S (-1)i+j aijMij

2. Опр-ль разлаг-ся по кажд. j-тому ст-цу м-цы, т.е. опр-ль÷A÷ =(-1)1+j a1jM1j+(-1)2+j a2jM2j+...+(-1)n+j aijMij

Опр.: М-ца Ат наз.транспонированнойм-цей к м-це А, если эл-т (i,j)м-цы А явл. (i,j)-тым эл-том м-цы Ат, т.е. если эл-т аij стоит в j-том столбце и i-той стр.,то в м-це Ат этот эл-нт нах-ся в j-той стр. и i-том столбце.

3.При транспонир. кв. м-цы опр-ль не меняется, т.е. опр-ль м-цы А = опр-лю м-цы Ат.

4.При перестановке местами двух любых строк м-цы (столбц) опр-ль сохран. абсол-ую величину, но меняет знак на противоположн.

Опр.Известное определен.линейной завис-ти для векторов справедливо также и для строк (столбцов) м-цы.

5. Если в м-це А i-тая строка (столбец) явл. линейной комбинац. строк В=(b1,b2,...,bn) и С=(с12,...,сn) с коэф-ми a,b,то÷A÷=÷A÷+÷A2÷, где А1- м-ца, получ. из м-цы А заменой её i-той строки строкой В,а м-ца А2 получ. из м-цы А заменой её i-той стр. строкой С.

6.Если в кв. м-це есть 2 одинак. строки (столбца), то опр-ль этой м-цы =0.

7.Если строку (столбец) опр-ля умнож. на какое-то число, то опр-ль тоже умн-ся на это число.

8.Если все эл-ты какой-то стр. (столбца) = 0, то опр-ль м-цы=0.

9.Если эл-ты двух строк (столбцов) соответственно пропорц-ны, то опр-ль м-цы =0.

10.Если к эл-там некоторой строки опр-ля прибавить соотв-щие эл-ты др. строки м-цы, умнож-ные на число х,то опр-ль не изменится, то же для столбцов.

Опр. Алгебраич-ким дополнениемэл-та aij кв. м-цы А наз-ся число, обозн. Аij=(-1 )^i+j Mij

Т-ма об алгабраич. дополнениях: Сумма произведений любой строки м-цы на соотв-щие алгебраические дополнения эл-тов др. строки этой м-цы=0

Система линейных уравнений. Основные понятия.

Опр. Системой лин. алгеброич. ур-й с неизвестными х12...,хn

наз. совок. ур-й: a11x1+a12x2+...+a1n xn=b1

a21x2+a22x2+...+a2n xn=b2

am1x1+am2x2+...+amnxn=bn

Опр. Если число ур-й совпадает с числом неизв-ых, т.е m=n, то

система наз-ся квадратной

Опр. Число aij, где i-номер ур-я, j-номер неизвестного наз. коэ-том при неизвестных числа b1,b2...,bm-свободным членом.

Опр. Система имеющая хоты бы одно решение, наз-ся совместной, система неимеющая ни одного реш. наз. несовм.

Опр. Система имеющая точно одно реш-е наз. опр-ой.

Опр. Система имеющая более одного реш-я наз. неопр-ой.

Опр. Две системы наз-ся эквивал-ми, если все реш-я одной из них также явл-ся реш-ями другой и обратно.

Опр. Элементарными преобразованиями системы наз-ся:

1.замена местами любого ур-я системы.:

2.умножение ур-й на любые числа отличные от нуля.

3.прибав-е один одному ур-ю другого, умнож-е на любое число

Опр.Прямоуг-я таблица,состоящая из коэ-тов при неизвестных системы 1 наз-ся осн-ой м-цей системы.

a11 a12...a1n

А= a21 a22 ...a2n -основная м-ца.

am1 am2..amn

Опр.Таблица,сост. из свободн.членов, наз-ся столбцомсв.чл.

Теорема Крамера.

Если определитель основной матрицы квадратной линейной системы уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находиться по формуле , ∆ - определитель основной матрицы, полученной из основной замены итого столбца, столбцов свободных членов.

Метод Гаусса.

Теорема Крамера применяектся только к кв. системам, и только в случае, когда опр-ль осн. м-цы А

Метод Гаусса применяется для люб. систмы- это один из гл. методов реш-я систем.

Метод Гаусса- метод последовательного исключения переменных. С пом. элементарных преобразований строк расширенной м-цы D системы приводят к ступенчатому виду м-цу А системы:

c11 c12...c1r...c1n d1

c21 c22...c2r...c2n d2

.................

0 0... crr... crn dr

0 0... 0... 0 dr+1

................

0 0... 0... 0 dm

( ciir). если среди чисел dr+1, dr+2..., dm есть отличные от нуля, то система несовместна Если dr+1=dr+2=...= dm=0, то:

1. при r=n исходная система равносильна системе

c11x1+c12x2+...+c1nxn=d1

c22x2+...+c2nxn=d2

..................

cnnxn=dn

имеющей единственное реш-е ( находим сначала из последнего ур-я xn, из предпоследнего xn-1 и т.д. и из первого x1)

2. при r<n исходная сист. равносильна системе

c11x1+c12x2+...+c1rxr=d1-c1r+1xr+1-...-c1nxn

c22x2+...+c2rxr=d2-c2r+1xr+1-...-c2nxn

.......................

crrxr=dr-crr+1xr+1 -...-crnxn

имеющий бесчисленное мн-во реш-й (xr+1,xr+2...xn-свободные переменные).

Примеры линейных пространств.

Опр.Мн-во всех действит.чисел или мн-во всех комплекс.чисел будем наз. полем (Р). Не пустое мн-во эл-тов V наз. лин. пр-вом над полем Р, а его эл-ты наз-ся векторами обозн-мые х,у если вып-ся условия:

1.В мн-ве V опр-на алгебр. операция сложения, т.е. для любой пары эл-тов х,у ÎV $ единств.эл-т zÎV кот.наз-ся суммой векторов у и х, т.е. х+у=z. Спр.оксиомы:

а)сложение векторов в мн-веVкоммутативно,т.е.х+у=у+х

б)ассоциативно, т.е (х+у)+z=x+(y+z)

в) В мн-ве V $ нулевой эл-т, обозначаемый 0,такой, что для "х из пр-ва V, сумма х+0=х

г)для " вектора хиз V $ противопол-ный ему эл-т –хÎ мн-вуV такой, что сумма х+(-х)=0

2.Определена операция умножения векторов из мн-ва Vна число из поля Р, т.е для" числа a из поля Р и "вектора х из V $ единств. вектор aх ÎР и наз-мый произ-ем х на a, при этом вып-ся оксиомы:

д)1×х=х для "хÎР

е)для любых чисел a и b из поля Р и "х их мн-ва Vспр. рав-во: (ab)х=a(b+х)

3.Операция сложения и умножения связаны дистрибутив.

соотношениями:

ж)для " х из V и любых a и b из поля Р; (a+b)х =aх+bх

з)для " a из Р и" х и у изV спр. рав-во:a(х+у)=aх+aу

Опр. ЕслиР- мн-во действ-ых чисел, то лин. пр-во V наз.

лин-ным действит. пр-вом.

Опр.Если Р- мн-во комплекс. чисел, то Vназ. компл. лин.

ПРИМЕР 1.Рассм. мн-во V={0} и рассм.Р- поле действит. чисел.

1. 0+0=0 принадлежит V, т.е. в данном мн-ве опр-на операция сложения. Оксиома: а)0+0=0+0; б)...;в)0; г)0+0=0

2. a× 0=0; a0Î V. Все остальные оксиомы легко проверяются, т.е. мн-во V, состоящее из одного 0, образует действит. лин. пр-во, оно наз. нулевым и обозн. 0- нулевое пр-во

ПРИМЕР 2. Рассм. мн-во V={...-2,-1,0,2...}

1. Т.к. сумма целых чисел всегда целое число и принадлежит V, то операция сложения в мн-ве V опр-на, при этом оксиомы а,б,в,г, выполняются.

2.т.к.произ-е целого числа на действ-ное не всегда дает целое число,то операция умнож. на число из поля Рне опр-на, поэтому мн-во всех целых чисел не явл. лин. пр-вом.

 

Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направляющий вектор = (m,n) и точка M0 (x0,y0) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем

и так как то .

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M иM0, то

параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

 

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.36.32 (0.021 с.)