Гипербола, ее каноническое уравнение и свойства.

Опр. Гиперболой наз. множество точек плоскости для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ равен постоянному числу 2а. Точки F₁ и F₂ наз. фокусами, число 2а – главной осью гиперболы, число а – главной полуосью.

Т. В канонической системе координат любая гипербола определяется уравнением:

, где а – главная полуось; b²=с²-а².

Свойства гиперболы, вытекающие её канонического уравнения:

1.Ось Ох и Оу явл. осями симметрии гиперболы, начало корд О явл. центром симметрии.

2.Все точки гиперболы расположены справа от прямой х=а и слева от прямой х=-а.

3.Гипербола имеет 2 вершины:А₁(-а; 0) и А₂(а; 0).

При неограниченном увеличении абсциссы х точки гиперболы её ветви неограниченно приближаются к соответствующим асимптотам.

 

68.Парабола ее каноническое уравнение и свойства.

Опр.Параболой наз. множество точек плоскости, для кот. расстояние до фиксированной точки F , наз. фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, наз. директрисой.

Т. В канонической системе координат любая парабола определяется уравнением:

y²=2px, где р – это расстояние от фокуса до директрисы.

Свойства параболы y²=2px:

1.Ось Ох явл. осью симметрии параболы.

2.Начало корд О явл. единственной вершиной параболы.

3.Все точки параболы лежат справа от оси Оу. Последнее следует из того, что х может быть только неотрицательным числом.

 

Директрисы эллипса, гиперболы, параболы.

Опр. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстояние от него, наз. директрисами эллипса. Опр.Две прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии , наз. директрисами гиперболы. 70.Общие свойства кривых 2-го порядка.67,68,66. 71.Понятие матрицы. Виды матриц.Опр.М-цей А размером m*n наз-ся прямоуг. т-ца, в кот. эл-ты записаны в m- строках и n- столбцах Опр.Если число строк =числу столбцов и =n,то м-ца наз. кв.порядка n побочная диагональ а11а12...а1nА= а21а22...а2n an1an2...amn главная диагональОпр. Если в кв. м-це все эл-ты aij, где i j, равны нулю, то м-ца наз.диагональной.Опр.Если на диагонали стоят все единицы,то м-ца наз. един-ой.Опр.Две м-цыназ-сяравными, еслиу них одинаковые размеры и равные эл-ты на соотв-щих местах.72.Сложение матриц и умножение на число.Операция сложения опр-ся только для м-ц имеющих одинаковые размеры.Опр. Суммой м-цы Аm*n=[a_ij] и м-цы В m*n [b_ij] наз-ся м-ца A+Bm*n=[a_ij+b_ij]При сложении м-ц одинаковых размеров,складываются их эл-ты,стоящиенаодинаковых местахОпр.Произведение A m*n [a_ij] на число  наз. м-ца А, сост.из a_ij, т.е при умножении м-цы на число все эл-ты умнож-сяна это число.

Свойства линейных операций.

1.слож-е м-ц коммутативно, т.е А+В=В+А

2.слож-е м-ц ассоциативно,т.е (А+В)+С=А+(В+С)

3.А+0=А, где 0- нулева м-ца одинак-я с А порядка

4.Для " А $ противопол-ная м-ца -А такая, что А+(-А)=0

Св-во умножения на число:

5. 1 × А=А

6. l(bА)=(lb)А

Две линейные операции связаны дистрибутивными законами

7.(a+b)А=aA+bВ

8.a( А+В )=aА+aВ

Произведение матриц. Свойства произведения матриц.

Опр. Произв-е м-цы А m*p=[a_ij] на м-цу B p*n [b_ij] наз-ся м-ца АВ m*n=[c_ij], где c_ij = сумме произ-й эл-тов i-той строки м-цы А на соотв-ие эл-ты j-ого столбца м-цы В. C_ij=a_ij b_ij+a_i2b_2j+...+a_ip b_pj

СВОЙСТВА:

1.АЕ=ЕА=А;

2.АО=ОА=О;

3.(АВ)С=А(ВС);

4.(АВ)=(А)В=А(В);

5.(А+В)С=АС+ВС.

Понятие определителя квадратной матрицы.

Опр. Определителем м-цы ôАô наз-ся число, =

ôАô =(-1)¹+1 а₁₁+М₁₁+(1)¹⁺² а₁₂М₁₂=а₁₁а₂₂-а₁₂а₂₁

Опр.Опр-лем кв. м-цы А наз-ся число, обозн.÷А÷=

1)а₁₁=÷А÷ при n=1;

2)÷А÷=(-1)¹⁺¹ а₁₁М₁₁+(-1)¹⁺² а₁₂М₁₂+...+(-1)¹⁺ⁿ a_1nM_1n,где минор эл-та A_ij, который=опр-лю м-цы n-1 порядка, получ-м вычеркиванием из м-цы А_i строки j –ого столбца.Эту ф-лу запис. так:÷A÷ = S (-1)^1+j × a_1j+M_1j и наз-ся разложением опр-ля по 1-ой строчке.

Минор- опред-ль, котор. получ-ся вычёрк-ем 1стр. 1столбца

Свойства определителей.

1. Каков бы ни был номер строки опр-ля, справедл. ф-ла÷А÷ =( -1)ⁱ⁺¹ a_i1M_i1+(-1)ⁱ+2 a_i2M_i2+...+(-1)ⁱ⁺ⁿ a_inM_in ,т.е. опр-ль разлаг-ся по кажд. своей строке.÷A÷= S (-1)^i+j a_ijM_ij

2. Опр-ль разлаг-ся по кажд. j-тому ст-цу м-цы, т.е. опр-ль÷A÷ =(-1)^1+j a_1jM_1j+(-1)^2+j a_2jM_2j+...+(-1)^n+j a_ijM_ij

Опр.: М-ца А^т наз.транспонированнойм-цей к м-це А, если эл-т (i,j)м-цы А явл. (i,j)-тым эл-том м-цы А^т, т.е. если эл-т а_ij стоит в j-том столбце и i-той стр.,то в м-це А^т этот эл-нт нах-ся в j-той стр. и i-том столбце.

3.При транспонир. кв. м-цы опр-ль не меняется, т.е. опр-ль м-цы А = опр-лю м-цы А^т.

4.При перестановке местами двух любых строк м-цы (столбц) опр-ль сохран. абсол-ую величину, но меняет знак на противоположн.

Опр.Известное определен.линейной завис-ти для векторов справедливо также и для строк (столбцов) м-цы.

5. Если в м-це А i-тая строка (столбец) явл. линейной комбинац. строк В=(b₁,b₂,...,b_n) и С=(с₁,с₂,...,с_n) с коэф-ми a,b,то÷A÷=÷A÷+÷A₂÷, где А₁- м-ца, получ. из м-цы А заменой её i-той строки строкой В,а м-ца А₂ получ. из м-цы А заменой её i-той стр. строкой С.

6.Если в кв. м-це есть 2 одинак. строки (столбца), то опр-ль этой м-цы =0.

7.Если строку (столбец) опр-ля умнож. на какое-то число, то опр-ль тоже умн-ся на это число.

8.Если все эл-ты какой-то стр. (столбца) = 0, то опр-ль м-цы=0.

9.Если эл-ты двух строк (столбцов) соответственно пропорц-ны, то опр-ль м-цы =0.

10.Если к эл-там некоторой строки опр-ля прибавить соотв-щие эл-ты др. строки м-цы, умнож-ные на число х,то опр-ль не изменится, то же для столбцов.

Опр. Алгебраич-ким дополнениемэл-та aij кв. м-цы А наз-ся число, обозн. Аij=(-1 )^i+j Mij

Т-ма об алгабраич. дополнениях: Сумма произведений любой строки м-цы на соотв-щие алгебраические дополнения эл-тов др. строки этой м-цы=0