Общие уравнения прямой, как линии пересечения двух плоскостей

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой

Билет 6 Записать выражение для угла между прямой и плоскостью, условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямами плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

Билет 7. Дать определение эллипса. Записать уравнение эллипса в канонической форме. Вершины, фокусы, оси и эксцентриситет эллипса.

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Пусть F ₁ и F ₂ – фокусы эллипса. Начало O системы координат расположим на середине отрезка F ₁ F ₂. Ось Ox направим вдоль этого отрезка, ось Oy – перпендикулярно к этому отрезку (рис.).

 

 

Определение: Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипс а, центр симметрии – центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины – большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины – малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса.

Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты (– a;0), (a;0),(0; – b), (0; b), большая полуось равна a, малая полуось равна b. Величина c, являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы c ² = a ² – b ².

Эксцентриситет эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса 0< <1.

 

.

Уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

 

Билет 8 Дать определение гиперболы. Записать уравнение гиперболы в канонической форме. Вершины, фокусы, оси, асимптоты и эксцентриситет гиперболы,

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось Ox направим вдоль этого отрезка, а ось ординат – перпендикулярно к нему.

. Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси Ox и Oy, а начало координат – центр симметрии гиперболы.

Определение: Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением с осью Ox называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками (0;– b) и (0; b) называется мнимой осью. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом гиперболы.

Замечание: Из равенства b ² = c ² – a ² следует, что c > a, то есть у гиперболы >1. Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол.

 

Билет 9. Дать определение параболы. Записать уравнение параболы в канонической форме. Директриса, фокус параболы

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d, не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.

Директориальное свойство параболы Точка F называется фокусом параболы, прямая d — директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние p2 от вершины параболы до её фокуса — фокусным расстоянием (рис,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM, соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки M. Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице

(e=1)(e=1)

. Геометрическое определение параболы, выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

 

y2=2⋅p⋅x,

 

 

 

Билет 10. Что такое квадратная, единичная, симметрическая, ортогональная матрица. Дать определение транспонированной и обратной матрицы.

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая — строк и — столбцов..

Определение 2. Числа И называются Порядками матрицы (или говорят, что матрица имеет размер )

Определение 3. Числа , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами.

1.Определение 4. Матрица называется Квадратной если число строк равно числу столбцов. В случае квадратной матрицы вводятся понятия Главной диагонали (это числа — ) и Побочной диагонали (это числа — ).

2.Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

.

3. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Ортогональная матрица

Квадратная матрица A, для которой A^-1 = A^T называется ортогональной матрицей. Основные свойства ортогональной матрицы: Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице. Это свойство следует из свойств определителей:

Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.

Скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Сумма произведений элементов любой строки ортогональной матрицы на соответствующие элементы другой строки равна нулю.

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим: где Е – единичная матрица.

Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является

det(A) ≠ 0 или rank(A) = N.

 

Свойства обратной матриц

· , где обозначает определитель.

· для любых двух обратимых матриц и .

· , где обозначает транспонированную матрицу.

· для любого коэффициента .

· .

· Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как .

 

 

Билет 11. Что такое эквивалентные матрицы. Перечислите элементарные преобразования матриц. Что можно сказать о рангах эквивалентных матриц.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования строк:

1. умножение строки на ненулевое число;

2. перестановка двух строк;

3. прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число.

4. Если от матрицы к матрице перешли с помощью эквивалентных преобразований над строками, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначают .

5. Метод элементарных преобразований

6. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

 

Билет 12, Что такое базисный минор. Сформулируйте теорему о базисном миноре.

Определение. Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора (минор - определитель квадратной матрицы ). Обозначается .

Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, называются базисными строками и столбцами.

Определение. Система столбцов называется линейно зависимой числа , не все равные нулю и такие что:

 

Теорема о Базисном миноре

Столбцы матрицы , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора.

В матрице размеров минор -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры -ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы линейно выражаются через столбцов , которые образуютлинейно независимую систему, то ранг матрицы .

 

 

Билет 13 Что такое однородная и неоднородная система уравнений. Что называется решением системы уравнений. Поясните термины: совместная система уравнений, несовместная система уравнений. Какие системы уравнений называются эквивалентными?

Определение 1. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.

Определение 2. Решением системы называется совокупность из n чисел с ₁, с ₂, …, с _n, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.

Определение 3. Система называется совместной (несовместной), если она имеет хотя бы одно решение (не имеет решений).

Определение 4. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определённой (неопределённой), если она имеет единственное решение (множество решений).

Определение.

Две системы линейных уравнений называют равносильными (эквивалентными), если они имеют одни и те же решения.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются только над строками системы.

 

Билет 14 Что такое фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Что называется общим решением однородной системы уравнений.

 

Определение. Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений.

Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:

Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой

X = C 1 · X 1 + C 2 · X 2 + … + Cn − r · Xn − r ,

(3)

где X ₁, X ₂, …, X_{n − r} — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C ₁, C ₂, …, C_{n − r} — произвольные постоянные.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях C ₁, C ₂, …, C_{n − r} X, определяемое формулой (3), является решением системы (1).

2. Каково бы ни было решение X ₀, существуют числа C ₁⁰, …, C_{n − r} ⁰ такие, что

3.

X 0 = C 1^0 · X 1 + C 2^0 · X 2 + … + Cn − r ^0 · Xn − r .

Вывод: Чтобы найти фундаментальную систему и общее решение однородной системы, нужно найти базис ядра соответствующего линейного оператора.

 

 

БиБ

Билет 16. Дать определение линейного пространства и сформулировать его свойства.

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 (x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x (x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α· x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β · x) = (α·β) · x − умножнение на число ассоциативно:;

1 · x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α· x + α· y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β )· x = α· x + β · x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Билет 17. Подпространство линейного пространства. Его свойства. Линейная оболочка.

Определение линейного подпространства

Непустое подмножество L линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если

1) u+v∈L ∀u,v∈L (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);

2) λv∈L ∀v∈L и любого числа λ (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).

Свойство 1 Всякое подпространство линейного пространства R есть линейное пространство.

Свойство 2 dim M ≤ dim Rn.

Свойство 3 (о пополнении базиса). Если (ep)k — базис в подпространстве M линейного пространства Rn, причем k < n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2,..., en, что (ep)n будет базисом в Rn.

О п р е д е л е н и е.Линейная оболочка — это набор векторов, которые задают линейное подпространство. Строго говоря, линейная оболочка — это множество всех линейных комбинаций данных векторов. Так же обозначим особенности:

 

Билет 18. Дать определение евклидова пространства. Поясните операцию нормирование вектора.

Определение Пусть V — векторное пространство. Говорят, что в V задано скалярное произведение, если любым двум векторам x, y ∈ V поставлено в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов и обозначаемое через xy или (x, y), так, что выполнены следующие условия (здесь x, y, z — произвольные векторы из V, а

t — произвольное действительное число):

1) xy = yx (скалярное произведение коммутативно);

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения);

4) xx >=0, причем xx = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

Векторное пространство, в котором задано скалярное произведение, называется евклидовым. Свойства 1)–4) называются аксиомами евклидова пространства.

Вектор называют нормированным или единичным, если его длина равна единице. Нормировать произвольный ненулевой вектор — это поделить его на длину. Получится единичный вектор, сонаправленный исходному.
Скалярное произведение произвольного вектора на единичный даст точную длину проекции этого вектора на направление единичного. Чтобы получить не просто длину, а сам вектор-проекцию, надо умножить эту длину на наш единичный вектор:

Билет 19 Что такое ортонормированный базис. Поясните процесс ортогонализации Грама-Шмидта на примере двумерного базиса.

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n -мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e ₁, e ₂, ..., e _n — ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства и

x = x ₁ e₁ + x ₂ e₂ +... + x _n e _n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x _i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x _i =(x, e _i ), i = 1, 2,..., n.

ГРАМА-ШМИДТА, Дана линейно независимая система векторов b₁, b₂, …, b_l, a_l+1, …, a_n l ≥ 1 (1)часть, которой ортогональна, обозначим b_l+1 ортогональную составляющую вектора а_l+1 относительно ортогональной системы b₁, b₂, …, b _l. Тогда1. Система векторов b₁, b₂, …, b_l, b_l+1, a_l+2, …, a_n (2) эквивалентна (1).

2. Система векторов (2) линейно независима, а ее часть b₁, b₂, …, b_l, b_l+1 – ортогональна.Используя, понятие ортогональной составляющей, опишем процесс превращения линейно независимой системы а₁, а₂, …, а_n в ортогональную систему b₁, b₂, …, b_n ненулевых векторов, который называется ортогонализацией системы а₁, а₂, …, а_n. Этот процесс состоит из n–шагов, n–число векторов в исходной системе а₁, а₂, …, а_n.

1 шаг. Полагаем b₁=а₁ и получаем систему b₁, а₂, …, а_n

2 шаг. Заменим в системе (3) вектор а₂ ортогональной составляющей относительно b₁, и получим систему: b₁,b₂, а₃,…,а_n (4)

Согласно шагам ортогонализации система (4) линейно независима, а ее часть b₁, b₂ –ортогональна.

Предположим, что уже построена линейно независимая система b₁, b₂, …, b_k-1, a_k,…, a_n, (5)

у которой b₁, b₂, …, b_k-1 – ортогональны.

На k-том шаге k = 3, n заменим в системе (5) вектор a_k его ортогональной составляющей относительно системы b₁, b₂, …, b_k-1 и получим систему b₁, …,b_k, a_k+1, …, a_n.

После выполнения n–го шага получим линейно независимую и ортогональную систему векторов b₁, b₂, …, b_n.

Билет 20. Дать определение оператора в линейном пространстве. Какой оператор называется линейным.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A (x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y = A (x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A (u + v) = A (u) + A (v), A (α· u) = α· A (u).

 

Билет 21. Приведите пример линейного оператора. Какие действия над линейными операторами Вы знаете?