Связь между размерностями образа и ядра

Замечания.

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e ₁, e ₂, …, e _n Î X называется базисом в X, если

• система векторов e ₁, e ₂, …, e _n линейно независима;
• любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

x = ξ1 e 1 + ξ2 e 2 + … + ξ nen.

(1)

• Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e ₁, e ₂, …, e _n.
• Коэффициенты ξ₁, ξ₂, …, ξ _n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.
• Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e ₁, e ₂, …, e _n называются координатами вектора x в этом базисе.
• Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξ _i = á e_i, x ñ и для вектора x = {ξ₁, ξ₂, …, ξ _n }. Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца

· Замечания.

· 1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.

· 2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов.

· 3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n –мерном пространстве является базисом.

· Пусть X — линейное пространство.

· Определение. Система векторов x₁, x₂, …, x_n Î X называется линейно зависимой, если существуют числа α₁, α₂, …, α_n Î R, не все равные нулю (т.е. α₁² + α₂² + … + α_n² ≠ 0), такие, что

α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = θ.

Если это равенство выполняется только при α₁ = α₂ = … = α_n = 0, то система векторов называется линейно независимой.

 

 

Билет2. Что такое ядро и образ оператора. Как связаны размерности линейного пространства, ядра и образа оператора. Привести примеры.

Ядром линейного отображения A:V→W называется множество таких векторов v∈V, что A(v)=oW, т.е. множество векторов из V, которые отображаются в нулевой вектор пространства W. Ядро отображения A:V→W обозначается:

kerA={v:v∈V, A(v)=oW}.

Образом линейного отображения A:V→W называется множество образов A(v)

всех векторов v из V. Образ отображения A:V→W обозначается imA или A(V):

 

imA=A(V)={w:w=A(v), ∀v∈V}.

Связь между размерностями образа и ядра

Пусть A — линейный оператор в векторном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора A равна размерности V.

Билет 3 Записать уравнение плоскости и прямой линии в пространстве в векторной форме.

Уравнение прямой в пространстве в векторной форме

Прямая линия в пространстве может быть задана уравнением в параметрической форме: r=r0+at где a не равно 0 — направляющий вектор прямой, r0 — радиус-вектор некоторой точки прямой. Это уравнение совпадает с параметрическим векторным уравнением прямой на плоскости.

 

 

Билет 4. Как определить угол между плоскостями. Записать условие параллельности и ортогональности плоскостей.
Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Ортогональная матрица

Квадратная матрица A, для которой A^-1 = A^T называется ортогональной матрицей. Основные свойства ортогональной матрицы: Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице. Это свойство следует из свойств определителей:

Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице.

Скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Сумма произведений элементов любой строки ортогональной матрицы на соответствующие элементы другой строки равна нулю.

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим: где Е – единичная матрица.

Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является

det(A) ≠ 0 или rank(A) = N.

 

Свойства обратной матриц

· , где обозначает определитель.

· для любых двух обратимых матриц и .

· , где обозначает транспонированную матрицу.

· для любого коэффициента .

· .

· Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как .

 

 

Билет 11. Что такое эквивалентные матрицы. Перечислите элементарные преобразования матриц. Что можно сказать о рангах эквивалентных матриц.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования строк:

1. умножение строки на ненулевое число;

2. перестановка двух строк;

3. прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число.

4. Если от матрицы к матрице перешли с помощью эквивалентных преобразований над строками, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначают .

5. Метод элементарных преобразований

6. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

 

Билет 12, Что такое базисный минор. Сформулируйте теорему о базисном миноре.

Определение. Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора (минор - определитель квадратной матрицы ). Обозначается .

Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, называются базисными строками и столбцами.

Определение. Система столбцов называется линейно зависимой числа , не все равные нулю и такие что:

 

Теорема о Базисном миноре

Столбцы матрицы , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора.

В матрице размеров минор -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры -ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы линейно выражаются через столбцов , которые образуютлинейно независимую систему, то ранг матрицы .

 

 

Билет 13 Что такое однородная и неоднородная система уравнений. Что называется решением системы уравнений. Поясните термины: совместная система уравнений, несовместная система уравнений. Какие системы уравнений называются эквивалентными?

Определение 1. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.

Определение 2. Решением системы называется совокупность из n чисел с ₁, с ₂, …, с _n, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.

Определение 3. Система называется совместной (несовместной), если она имеет хотя бы одно решение (не имеет решений).

Определение 4. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определённой (неопределённой), если она имеет единственное решение (множество решений).

Определение.

Две системы линейных уравнений называют равносильными (эквивалентными), если они имеют одни и те же решения.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются только над строками системы.

 

Билет 14 Что такое фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Что называется общим решением однородной системы уравнений.

 

Определение. Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений.

Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:

Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой

X = C 1 · X 1 + C 2 · X 2 + … + Cn − r · Xn − r ,

(3)

где X ₁, X ₂, …, X_{n − r} — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C ₁, C ₂, …, C_{n − r} — произвольные постоянные.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях C ₁, C ₂, …, C_{n − r} X, определяемое формулой (3), является решением системы (1).

2. Каково бы ни было решение X ₀, существуют числа C ₁⁰, …, C_{n − r} ⁰ такие, что

3.

X 0 = C 1^0 · X 1 + C 2^0 · X 2 + … + Cn − r ^0 · Xn − r .

Вывод: Чтобы найти фундаментальную систему и общее решение однородной системы, нужно найти базис ядра соответствующего линейного оператора.

 

 

БиБ

Билет 16. Дать определение линейного пространства и сформулировать его свойства.

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 (x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x (x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α· x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β · x) = (α·β) · x − умножнение на число ассоциативно:;

1 · x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α· x + α· y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β )· x = α· x + β · x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Билет 17. Подпространство линейного пространства. Его свойства. Линейная оболочка.

Определение линейного подпространства

Непустое подмножество L линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если

1) u+v∈L ∀u,v∈L (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);

2) λv∈L ∀v∈L и любого числа λ (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).

Свойство 1 Всякое подпространство линейного пространства R есть линейное пространство.

Свойство 2 dim M ≤ dim Rn.

Свойство 3 (о пополнении базиса). Если (ep)k — базис в подпространстве M линейного пространства Rn, причем k < n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2,..., en, что (ep)n будет базисом в Rn.

О п р е д е л е н и е.Линейная оболочка — это набор векторов, которые задают линейное подпространство. Строго говоря, линейная оболочка — это множество всех линейных комбинаций данных векторов. Так же обозначим особенности:

 

Билет 18. Дать определение евклидова пространства. Поясните операцию нормирование вектора.

Определение Пусть V — векторное пространство. Говорят, что в V задано скалярное произведение, если любым двум векторам x, y ∈ V поставлено в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов и обозначаемое через xy или (x, y), так, что выполнены следующие условия (здесь x, y, z — произвольные векторы из V, а

t — произвольное действительное число):

1) xy = yx (скалярное произведение коммутативно);

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения);

4) xx >=0, причем xx = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

Векторное пространство, в котором задано скалярное произведение, называется евклидовым. Свойства 1)–4) называются аксиомами евклидова пространства.

Вектор называют нормированным или единичным, если его длина равна единице. Нормировать произвольный ненулевой вектор — это поделить его на длину. Получится единичный вектор, сонаправленный исходному.
Скалярное произведение произвольного вектора на единичный даст точную длину проекции этого вектора на направление единичного. Чтобы получить не просто длину, а сам вектор-проекцию, надо умножить эту длину на наш единичный вектор:

Билет 19 Что такое ортонормированный базис. Поясните процесс ортогонализации Грама-Шмидта на примере двумерного базиса.

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n -мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e ₁, e ₂, ..., e _n — ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства и

x = x ₁ e₁ + x ₂ e₂ +... + x _n e _n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x _i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x _i =(x, e _i ), i = 1, 2,..., n.

ГРАМА-ШМИДТА, Дана линейно независимая система векторов b₁, b₂, …, b_l, a_l+1, …, a_n l ≥ 1 (1)часть, которой ортогональна, обозначим b_l+1 ортогональную составляющую вектора а_l+1 относительно ортогональной системы b₁, b₂, …, b _l. Тогда1. Система векторов b₁, b₂, …, b_l, b_l+1, a_l+2, …, a_n (2) эквивалентна (1).

2. Система векторов (2) линейно независима, а ее часть b₁, b₂, …, b_l, b_l+1 – ортогональна.Используя, понятие ортогональной составляющей, опишем процесс превращения линейно независимой системы а₁, а₂, …, а_n в ортогональную систему b₁, b₂, …, b_n ненулевых векторов, который называется ортогонализацией системы а₁, а₂, …, а_n. Этот процесс состоит из n–шагов, n–число векторов в исходной системе а₁, а₂, …, а_n.

1 шаг. Полагаем b₁=а₁ и получаем систему b₁, а₂, …, а_n

2 шаг. Заменим в системе (3) вектор а₂ ортогональной составляющей относительно b₁, и получим систему: b₁,b₂, а₃,…,а_n (4)

Согласно шагам ортогонализации система (4) линейно независима, а ее часть b₁, b₂ –ортогональна.

Предположим, что уже построена линейно независимая система b₁, b₂, …, b_k-1, a_k,…, a_n, (5)

у которой b₁, b₂, …, b_k-1 – ортогональны.

На k-том шаге k = 3, n заменим в системе (5) вектор a_k его ортогональной составляющей относительно системы b₁, b₂, …, b_k-1 и получим систему b₁, …,b_k, a_k+1, …, a_n.

После выполнения n–го шага получим линейно независимую и ортогональную систему векторов b₁, b₂, …, b_n.

Билет 20. Дать определение оператора в линейном пространстве. Какой оператор называется линейным.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A (x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y = A (x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A (u + v) = A (u) + A (v), A (α· u) = α· A (u).

 

Билет 21. Приведите пример линейного оператора. Какие действия над линейными операторами Вы знаете?

Сумма

Пусть — линейные операторы из
,

Замечания.

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e ₁, e ₂, …, e _n Î X называется базисом в X, если

• система векторов e ₁, e ₂, …, e _n линейно независима;
• любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

x = ξ1 e 1 + ξ2 e 2 + … + ξ nen.

(1)

• Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e ₁, e ₂, …, e _n.
• Коэффициенты ξ₁, ξ₂, …, ξ _n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.
• Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e ₁, e ₂, …, e _n называются координатами вектора x в этом базисе.
• Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξ _i = á e_i, x ñ и для вектора x = {ξ₁, ξ₂, …, ξ _n }. Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца

· Замечания.

· 1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.

· 2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов.

· 3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n –мерном пространстве является базисом.

· Пусть X — линейное пространство.

· Определение. Система векторов x₁, x₂, …, x_n Î X называется линейно зависимой, если существуют числа α₁, α₂, …, α_n Î R, не все равные нулю (т.е. α₁² + α₂² + … + α_n² ≠ 0), такие, что

α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = θ.

Если это равенство выполняется только при α₁ = α₂ = … = α_n = 0, то система векторов называется линейно независимой.

 

 

Билет2. Что такое ядро и образ оператора. Как связаны размерности линейного пространства, ядра и образа оператора. Привести примеры.

Ядром линейного отображения A:V→W называется множество таких векторов v∈V, что A(v)=oW, т.е. множество векторов из V, которые отображаются в нулевой вектор пространства W. Ядро отображения A:V→W обозначается:

kerA={v:v∈V, A(v)=oW}.

Образом линейного отображения A:V→W называется множество образов A(v)

всех векторов v из V. Образ отображения A:V→W обозначается imA или A(V):

 

imA=A(V)={w:w=A(v), ∀v∈V}.

Связь между размерностями образа и ядра

Пусть A — линейный оператор в векторном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора A равна размерности V.

Билет 3 Записать уравнение плоскости и прямой линии в пространстве в векторной форме.