Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования

Некоторые интегральные уравнения Вольтерра, как первого, так и второго рода решаются методом дифференцирования.

Рассмотрим уравнение Вольтерра второго рода

 

Продифференцируем данное уравнение

 

применив правило дифференцирования интеграла по параметру x ( - переменная вне интеграла).

В случае вырожденных ядер можно применить правило дифференцирования произведения, предварительно вынося множитель зависящий только от из под интеграла.

Исключая неизвестный интеграл из двух уравнений, данного и полученного после дифференцирования, получим дифференциальное уравнение первого порядка. Если после первого дифференцирования исключить интеграл от неизвестной функции не удаётся можно попытаться осуществить исключение после n-кратного дифференцирования.

Особенно метод эффективен, если после n-кратного дифференцирования удаётся производную выразить через ядро . Это легко удаётся осуществить, например, для следующих функций и др.

 

 

Пример 2. Найти решение уравнения Вольтерра второго рода

 

 

Решение. Дифференцируем данное уравнение

 

 

и решаем полученное дифференциальное уравнение

 

 

 

при начальном условии находим значение постоянной

 

Ответ:

 

Проверка. Найденную функцию подставляем в исходное уравнение

и вычислив интегралы, получим тождество

 

 

Следовательно, эта функция удовлетворяет заданному равнению и является его решением.

 

Пример 3. Найти решение уравнения Вольтерра первого рода.

 

.

 

Решение. Дифференцируем данное уравнение

 

 

и заменив неизвестный интеграл его значением из данного уравнения

 

найдём решение дифференциального уравнения.

 

Ответ: .

 

Проверка. Подставим полученную функцию в исходное уравнение

 

откуда получаем тождество

 

 

Решение интегральных уравнений с помощью

Степенных рядов

Для уравнений Вольтерра второго рода

(5.1)

будем искать решение в виде степенного ряда

. (5.2)

Подставим ряд (5.2) в уравнение (5.1)

(5.3)

и положив , найдем .

Затем, дифференцируя равенство (5.3) по и, полагая после каждого дифференцирования , последовательно определим следующие коэффициенты степенного ряда (5.2)

(5. )

Откуда, при найдем

Аналогично найдем для ,... Следующие коэффициенты определяются через значения и предыдущие коэффициенты.

В общем случае записать рекуррентную формулу для нахождения степенного ряда проблематично, а тем более доказать его сходимость. Так как далее мы рассмотрим более эффективные методы решения, то здесь этого делать не будем.

 

Для некоторых частных видов уравнений найти решение интегрального уравнения Вольтерра бывает не сложно. Приведем пример.

 

Пример 4. Найти решение уравнения

.

Решение. Будем искать решение в виде степенного ряда

Подставим этот ряд в данное уравнение

(*)

и, положив , найдем . Затем дифференцируем равенство (*)

(**)

и снова положив , найдем , т.е. . Далее дифференцируем равенство (**)

И положив , найдем 2 . Продолжаем те же операции далее

откуда при получим

.

Продифференцировав ещё раз найдём

откуда при получим

, и т.д. . , …

Нетрудно проверить, что получен точный ответ.

 

 

Решение интегральных уравнений Вольтерра методом последовательных приближений

Уравнение второго рода

(6.1)

Теорема 1. Уравнение (6.1), если свободная функция и ядро - непрерывные функции при , имеет единственное непрерывное решение при любом значении параметра . Это решение может быть найдено методом последовательных приближений.

 

Доказательство. Примем за начальное приближение свободную функцию .

Выпишем рекуррентную формулу последовательных приближений по методу Пикара

(6.2)

В соответствии с условием теоремы имеем ограничения и используя которые оценим последовательные приближения (6.2) по модулю

,

…..………………………………………………………………………

 

…………………………………………………………………………..

 

при 0!=1.

 

Положим далее x = b, b > a и b любое, тогда

 

(6.3)

Как видим оценка го приближения к решению дается числовым рядом, который по признаку Даламбера сходится.

Действительно

 

Ряд в неравенстве (6.3) по построению является мажорирующим для ряда

(6.4)

частичная сумма которого равна

Тогда по критерию Вейерштрасса ряд (6.4) сходится абсолютно и равномерно и, следовательно, имеет непрерывную сумму

Остается доказать, что эта непрерывная функция является решением уравнения (6.1). Для этого в равенстве (6.2) перейдем к пределу

и в силу теоремы о единственности предела имеем

. (6.5)

Методом от противного докажем единственность полученного решения. Предположим, что существует другое решение тогда выполняется тождество

. (6.6)

Вычтем из тождества (6.5) тождество (6.6) и оценим по модулю эту разность

(6.7)

Неравенство (6.7) должно выполняться для всех значений следовательно оно выполняется и для и пусть этот максимум достигается в точке , тогда имеем неравенство

или откуда , что противоречит ранее доказанному, что может принимать любые значения. Противоречие снимается, если положить Единственность доказана.

 

Пример 5. Применив метод последовательных приближений найти приближённое решение уравнения

на отрезке с точностью

 

Решение. За начальное приближение примем свободную

 

функцию тогда

.

Затем находим

 

Далее по индукции выписываем

,

следовательно

 

.

 

За приближённое решение примем

 

,

 

тогда по теореме Лейбница для знакочередующихся рядов погрешность не превосходит максимума первого члена отброшенного остатка ряда, т.е.

 

.

Чтобы удовлетворить требуемую точность необходимо положить

 

,

 

тогда по той же теореме Лейбница имеем гарантированную погрешность

 

.

И так условие задачи выполнено.

 

Уравнения первого рода

. (6.8)

Теорема 2. Если в уравнении (6.8) ядро и свободная функция f(x) непрерывные функции при то уравнение (6.8) имеет единственное непрерывное решение при дополнительных условиях и что Это решение может быть найдено методом последовательных приближением сведением к интегральному уравнению Вольтерра второго рода после -кратного дифференцирования.

 

Доказательство. Продифференцируем уравнение (6.8)

. (6.9)

Если , то деля равенство (6.9) на этот множитель получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

, (6.10) решение которого существует и при том единственное по теореме 1.

Если , то дифференцируя равенство (6.10) и поделив полученное равенство на , при условии , получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Аналогично поступаем и в случае если что

 

Пример 6. Найти решение интегрального уравнения первого рода

 

Решение. Дифференцируя данное уравнение найдём

и к полученному интегральному уравнению Вольтерра второго рода

применим метод последовательных приближений.

Выпишем рекуррентную формулу

и приняв за начальное приближение , вычислим

.

Далее находим

, ,

, ,

и так далее.

Выпишем последовательность полученных приближений к искомому решению

или для данной задачи имеем

.

Нетрудно заметить, что пределом найденной числовой последовательности является число равное 1, следовательно искомая функция постоянна и равна единице.

Ответ: .

Сделаем проверку подставив решение в исходное уравнение

, .

Найденное решение удовлетворяет уравнению.