Задачи, приводящие к интегральным уравнениям Вольтерра

Задача o таутохроне

Найти кривую, скользя вдоль которой без трения тяжелая частица достигает своего самого низкого положения за одно и то же время независимо от её начального положения.

 

Решение. Выполним чертеж

 

 

и введем обозначения , Т – постоянная величина, - функция от h, кривую будем искать в виде .

Далее воспользовавшись формулой из физики

(2.1)

и формулами из курса математического анализа

 

, где , (2.2)

 

подставим формулы (2.2) в равенство (2.1)

 

, откуда .

 

Введем обозначение и так как с течением времени функция s(t) убывает, то оставляем знак минус

. (2.3)

 

Полученное равенство (2.3) проинтегрируем по t (0≤ t ≤ T), в то же время изменяется от h до 0 (h ≥ ≥ 0) и h – переменная величина

,

откуда

. (2.4)

 

Интегральное уравнение вида (2.4) есть уравнение Вольтерра первого рода, где u(x) - неизвестная функция. Решение таких уравнений впервые предложил Абель и поэтому уравнения такого вида называются уравнениями Абеля.

 

Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

, . (2.5)

 

Формально проинтегрировав уравнение в задаче (2.5) с пределами интегрирования от до x получим нелинейное уравнение Вольтерра второго рода

,

которое эквивалентно задаче (2.5).

 

Задача Коши для линейных уравнений

Высших порядков

, , , где . (2.6)

 

Положим

(2.7)

 

тогда

,

где – любое из отрезка [ a, b ] при нахождении общего решения и – начальное значение при решении задачи Коши. Интегрируя далее, необходимое число раз, найдём

и по формуле Коши для кратного интегрирования имеем

,

…………………………………………………………

 

,

,

………………………………………………………

 

 

,

 

. (2.8)

Найдем дифференциальный оператор , подставив в него полученные выражения для функции и её производных

.

 

Введем обозначения

 

,

 

 

.

 

Тогда выражение для дифференциального оператора перепишется

и вводя обозначение g(x) = f(x) – придем к разрешающему интегральному уравнению

, (2.9)

которое эквивалентно первоначальной задаче.

 

Краевые задачи для дифференциальных уравнений

Рассмотрим линейную краевую задачу

,

, , (2.10)

где , функции и – непрерывны коэффициенты и – постоянные числа.

Как и в предыдущей задаче введем новую функцию

и выпишем выражения производных и самой функции y(x)

 

, (2.11)

, где .

Если в (2.11) положить , то получим и соотношения (2.11) перепишутся

. (2.12)

При из (2.11) имеем

. (2.13)

Подставляем выражения для производных (2.13) в краевые условия (2.10)

 

или, группируя члены с одноимёнными производными, получим систему n линейных неоднородных алгебраических уравнений с неизвестными .

. (2.14)

Обозначим определитель этой системы через

=det .

Пусть ≠ 0, тогда, обозначив через _ij миноры определителя с их знаками в алгебраических дополнениях, получим

(2.15)

.

Найдем выражение дифференциального оператора через новую функцию

(2.16)

где

 

 

.

 

Подставляя выражение (2.16) в уравнение краевой задачи(2.10), придем к разрешающему интегральному уравнению смешанного типа Вольтерра-Фредгольма

 

где F(x) = f(x) – Ф (x).

Полученное разрешающее уравнение эквивалентно первоначально поставленной краевой задаче (2.10).

Аналогичных задач в различных областях знаний возникает множество, мы ограничимся приведёнными.

 

Интегральные уравнения Вольтера

Как частный случай уравнений Фредгольма

Интегральные уравнения Вольтерра как первого так и второго рода

при некоторых ограничениях можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма.

Чтобы показать это построим новое ядро

 

!!!

 

и запишем интегральное уравнение Фредгольма с этим ядром

.

t=x

t

Построим области интегрирования интегралов входящих в уравнения типа Вольтерра и Фредгольма

 

 

Ядро H(x,t) равно нулю вне заштрихованной части квадрата, по которой берётся Фредгольмовский интеграл и оба интеграла вычисляются по заштрихованной области, следовательно, они равны т.е.

 

 

Однако интегральные урравнения Вольтерра обладают свойствами характерными только для них. Для них применимы некоторые методы решения и исследования, которые не применимы или имеют существенные ограничения для уравнений Фредгольма.

 

Пример 1. Для интегрального уравнения Вольтерра второго рода

записать эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма.

 

Решение. Строим ядро

и записываем уравнение Фредгольма с этим ядром

которое и будет эквивалентным данному.