Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденными ядрами

1. Уравнения Вольтерра второго рода

2.

. (7.1)

Введем обозначения

 

, . (7.2)

 

Тогда уравнение (7.1) перепишется

 

. (7.3)

 

Дифференцируя равенство (7.2)

 

и учитывая равенство (7.3), придем к системе линейных дифференциальных уравнений для определения функции

(7.4) с начальными условиями .

Если удастся найти решение системы (7.4) с этими начальными условиями, то решение интегрального уравнения (7.1) определиться по формуле (7.3) или с помощью любого из выражений

,

 

которое получается дифференцированием формул (7.2).

 

 

Пример 7. Решим уравнение

Решение. При из данного уравнения найдём начальное условие для дифференциального уравнения

 

,

откуда находим

 

.

 

Подставив полученное выражение для интеграла в исходное уравнение придем к дифференциальному уравнению

 

По формуле решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка находим общее решение

.

Определить значение при из общего решения не удается. Тогда воспользуемся значением при производной и продифференцировав общее решение

,

 

при значениях и найдём .

Ответ:

 

Проверим, что найденная функция удовлетворяет исходному уравнению

 

 

т. е.имеем тждество

 

 

1. Уравнения Вольтерра первого рода

(7.5)

 

где условие , будем считать выполненным.

Аналогично, как и в предыдущем случае вводим неизвестные функции

 

(7.6)

и дифференцируем это равенство

 

. (7.7)

 

Затем дифференцируем исходное уравнение

 

откуда находим

 

. (7.8)

 

Выразив из соотношения (7.7) и подставив в (7.8), получим систему линейных дифференциальных уравнений для определения функций

 

, (7.9)

 

с начальными условиями

Если удастся найти решение системы (7.9) с этими начальными условиями, то решение определиться по формуле (7.7)

при любом

Значительно проще вопрос решается, если вырожденное ядро состоит из одного слагаемого

 

(7.11)

 

при аналогичном условии .

Как и ранее вводим новую функцию

 

(7.12)

 

и дифференцируем ее

. (7,13)

Затем дифференцируем исходное уравнение

и используя равенства (7.12) и (7.13) придем к линейному дифференциальному уравнению первого порядка

(7.14)

с начальным условием .

 

Пример 8. Найти решение уравнения

Решение. Вводим новую функцию

и находим её производную

 

,

 

затем дифференцируем исходное уравнение и подставляем новую функцию в полученное уравнение

 

Поделив результат на , получим линейное дифференциальное уравнение

и решаем его

Используя начальное условие определяем значение постоянной , следовательно

 

и .

 

Используя это значение находим

 

Ответ: .

 

Нетрудно проверить что полученная функция удовлетворяет заданному уравнению, действительно, подставив найденное решение в исходное уравнение, найдём

 

 

=

 

 

Решение уравнений Вольтерра второго рода с помощью ряда Неймана

Будем искать решение уравнения

(8.1)

в виде ряда по степеням параметра

 

. (8.2)

Подставив ряд (8.2) в уравнение (8.1)

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа в полученном равенстве (так как ряды слева и справа от равенства равны только в этом случае) найдем

…, … (8.3)

Докажем сходимость ряда (8.2) при найденных выражениях его коэффициентов (8.3) при следующих ограничениях

(8.4)

в квадрате .

Для выполнения условий (8.4) достаточно чтобы функция f(x) и ядро K(x,t) в рассматриваемой области были непрерывными. Для ядра K(x,t) можно условие ослабить, потребовав только его регулярность.Оценим коэффициенты ряда (8.2) по модулю в этой области

 

,

………………………………….…,

……………………………….

 

Построим ряд с полученными оценками коэффициентов ряда (8.2)

 

и положив в нём , где любое, получим числовой ряд

(8.5)

Числовой ряд (8.5) сходится по признаку Даламбера

.

Ряд (8.5) по построению является мажорирующим для ряда (8.2), следовательно ряд (8.2) по критерию Вейерштрасса сходится равномерно и абсолютно.

 

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Найдём коэффициенты ряда (8.2)

.

Подставив вычисленные коэффициенты в ряд (8.2) при найдём

 

Ответ:

 

 

Итерированные ядра и резольвента