Тема 1. 1. Уравнение прямых линий

Прямоугольная система координат. Расстояние между двумя точками на плоскости. Общее уравнение прямой и его частные случаи. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Основная литература: [1-5, 8].

Дополнительная литература: [1-4, 6].

Тема 1.2. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола

Основная литература: [1-5, 8].

Дополнительная литература: [1-4].

 

Раздел 2. Элементы линейной алгебры

Тема 2.1. Матрицы и определители

Матрицы, линейные операции над матрицами, умножение матрица. Обратная матрица. Квадратные матрицы, их определители. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Теоремы о разложении определителя по элементам строк (столбцов). Понятие о ранге матрицы.

Тема 2.2. Решение систем линейных уравнений

Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера, метод обратной матрицы.

Основная литература: [1-5, 8].

Дополнительная литература: [3– 4,6].

 

Раздел 3. Математический анализ

Тема 3.1. Дифференциальное исчисление и его применение

Функция. Предел функции одной переменной. Основные теоремы для пределов. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Неопределенности вида 0 / 0 и ¥ / ¥. Методы нахождения пределов.

Понятие производной, ее геометрический и механический и смысл. Дифференциал функции, его свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного. Производные высших порядков. Понятие экстремумов, необходимые и достаточные условия экстремумов. Правило исследования функции на экстремум.

Признаки выпуклости и вогнутости функции. Необходимые и достаточные условия перегиба. Правило исследования функции на выпуклость, вогнутость. Точка перегиба.

Асимптоты функции, их виды и нахождение. Общая схема полного исследования функции.

Основная литература: [1-5, 8].

Дополнительная литература: [1-4, 6].

Тема 3.2. Интегральное исчисление

Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы, его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Методы интегрирования заменой переменной и по частям в определенном интеграле. Приложения интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Основная литература: [1-5, 8].

Дополнительная литература: [1- 4, 6].

Тема 3.3. Дифференциальные уравнения

Понятие дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, его общее и частное решение.

Однородные уравнения первого порядка. Линейное дифференциальное уравнения первого порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Основная литература: [5, 8].

Дополнительная литература: [1-4, 6].

Тема 3.4. Ряды

Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимый признак сходимости числового ряда. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов. Признак сходимости знакопеременного ряда. Степенные ряды. Интервал сходимости. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Маклорена. Ряд Тейлора. Ряды Фурье.

Основная литература: [4, 5].

Дополнительная литература: [2, 4].

 

Раздел 4.Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 4.1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Испытания, события, виды событий, система элементарных событий. Классическое определение вероятности. Относительная частота появления события. Примеры вычисления вероятностей.

Теоремы сложений вероятностей несовместимых и совместимых событий. Теоремы умножения вероятностей независимых и зависимых событий. Противоположенные события. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.

Основная литература: [4 –7].

Дополнительная литература: [5].

Тема 4.2. Случайные величины

Понятие случайных величин, их виды. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения. Основные характеристики дискретной случайной величины и их смысл: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Свойства математического ожидания и дисперсии. Функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Нахождение основных характеристик непрерывно распределенной случайной величины.

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток. Вероятность заданного отклонения для нормально распределенной случайной величины.

Основная литература: [4 –7].

Дополнительная литература: [5].

Тема 4.3. Основы выборочного метода

Сущность выборочного метода. Статистического распределение выборки, его графическое изображение в виде полигона и гистограммы. Основные характеристики выборочного распределения: выборочная средняя, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Основная литература: [4 - 7].

Дополнительная литература: [5].

Тема 4.4. Проверка статистических гипотез

Статистические гипотезы. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки). Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).

Основная литература: [4 - 7].

Дополнительная литература: [5].

 

 

Методические рекомендации по выполнению заданий контрольной работы

Аналитическая геометрия

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(- 2; 7), В(10; - 2), С(8; 12). Построить чертеж и найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины С и ее длину; в) уравнение медианы, проведенной из вершины С; г) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; д) площадь треугольника.

На прямоугольной системе координат строим чертеж.

Рис. 1. Чертеж к задаче по аналитической геометрии

а) для нахождения длины АВ используем формулу:

ℓ²_AB = (X₂ – X₁)² + (Y₂ – Y₁)², где X₁ = – 2, Y₁ = 7, X₂ = 10, Y₂ = – 2

ℓ_AB = = 15

б) для составления уравнения прямой АВ воспользуемся формулой

(Y – Y₁) /(Y₂ – Y₁) = (X – X₁) /(X₂ – X₁) => (Y – 7) /(– 9) = (X – 2) / 12 =>

12Y – 84 = – 9X – 16 => Y = – (3/4)X + 11/2, где k_AB = – ¾

Уравнение высоты СД найдем:

Y – Y_С = k_СД (X – X_С) , где k_СД = – ℓ/ k_AB = 4/3, Y = (4/3)X + 4/3

Для нахождения ℓ_СД необходимо знать координаты точки Д, которые можно найти, решив систему уравнений:

Точка Д имеет координаты (2; 4), а ℓ_СД = 10.

в) для нахождения медианы СМ определим координаты точки М, как середины отрезка АВ: М (4; 2,5). Будем иметь:

(Y – Y_М) /(Y_С – Y_М) = (X – X_М) / (X_С – X_М) => (Y – 2,5) / 9,5 = (X – 4) / 4 => 4Y – 10 = 9,5X – 38 => Y = (19/8)X – 7

г) найдем уравнение прямой линии, проходящей через точку С параллельно стороне АВ. Используем уравнение:

Y – Y_С = k_АД (X – X_С), где k_АД = – 3/4, Y = – (3/4)X + 18

д) площадь S треугольника АВС равна: S = (1/2) ℓ_AB × ℓ_CД = 75 (кв. ед.)

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

Формула нахождения расстояние между двумя точками.

1. Что называется медианой?

2. Что называется высотой?

3. Записать условие перпендикулярности и параллельности двух прямых.

4. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

5. Уравнение прямой линии в отрезках

6. Уравнение прямой линии, проходящей через две точки.

7. Даны координаты вершины треугольника АВС. Построить чертеж и найти:

а) длину стороны ВС;

б) уравнение высоты, проведенной из вершины А и ее длину;

в) уравнение медианы, проведенной из вершины А;

г) уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС;

д) площадь треугольника.

 

а) А(0; 2), В(4; 4), С(8; 2) б) А(2; 5), В(- 6; - 2), С(7; 3)