Элементы теории вероятностей

Пример13. В коробке 4 красных и 6 зеленых шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они зеленого цвета (событие В)?

Решение:

1. Число равновозможных независимых исходов равно

n = C²₁₀ = 10! / (2! 8!) = 9 ×10 / 2 = 45

2. Найдем число исходов k, благоприятствующих событию B. Среди двух взятых наугад шаров должно быть два зеленых. Два зеленых из шести можно выбрать C²₆ = 6! / (2! 4!) = 5 × 6 / 2 = 15 способами, то есть k = 15.

3. Следовательно, Р (В) = 15 / 45 = 1 / 3.

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

1. Какое событие называется невозможным, достоверным?

2. Какое событие называется несовместными, равновозможными?

3. Что понимается под вероятностью события?

4. Дайте классическое определение вероятности события.

5. Формула Бернулли.

6. Формула полной вероятности.

7. Формула Байеса.

8. Имеется 100 деталей, из которых 6% бракованных. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь является бракованная?

9. На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «Гжель»?

10. В коробке 4красных и 6белых шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета?

Выборочная средняя и дисперсия

Пример 14. Выборка задана в виде распределения частот:

X_i 1 3 5

n_i 2 5 3

Вычислить выборочную среднюю и дисперсию. Составить распределение относительных частот.

Решение:

1. Найдем выборочную среднюю.

X_B = (∑ n_i X_i) / n = 3,2

2. Найдем дисперсию

D_B = [ ∑ n_i (X_i – X_B)² ] / n = [2(1 – 3,2)² + 5 (3 – 3,2)² + 3 (5 – 3,2)²] / 10 = 1,96

3. Найдем объем выборки n = ∑ n_i = 10.Относительные частоты посчитаем по формулеw = n_i / n. Распределение относительных частот имеет вид

X_i 1 3 5

w_i 1 / 5 1 / 2 3 / 10

Интервальная оценка

Пример 15. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания μнормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю X_B =14, объем выборки n = 36и среднее квадратичное отклонение s_x = 6.

Интервальная оценка определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Интервальной оценке ставится в соответствие вероятность (доверительная вероятность или надежность g), с которой эта оценка накроет неизвестный параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью g покрывает неизвестный параметр.

Интервальной оценкой с заданной надежностью g математического ожидания μ нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней X_B при известном среднем квадратическом отклонении s_x генеральной совокупности служит доверительный интервал

X_B - t (s_x / ) < μ < X_B + t (s_x / ),

где t (s_x / ) - точность оценки,

n - объем выборки,

t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t) (см. приложение 2 в основной литературе [5], [6]), при котором Ф(t) = g / 2.

Запишем доверительный интервал:

X_B - t (s_x / ) < μ < X_B + t (s_x / )

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,95 / 2 = 0,475. По таблице приложения 2 (см. основную литературу [5], [6]) находим t = 1,96.

Подставив данные, получим искомый доверительный интервал

12,04 < μ < 15,96

Вопросы и упражнения для самоконтроля:

1. Что такое дискретные случайные величины?

2. Закон распределения дискретных случайных величин.

3. Математическое ожидание дискретной случайной величины, основные свойства.

4. Дисперсия дискретной случайной величины, основные свойства.

5. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

6. Непрерывные случайные величины.

7. Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

8. Что такое выборочная средняя?

9. Что такое выборочная дисперсия?

10. Что такое интервальная оценка?

11. Что такое доверительная вероятность?

12. Интервальная оценка.

13. Выборка задана в виде распределения частот:

X_i 4 6 7

n_i 20 30 50

Найти распределение относительных частот. Вычислить выборочную среднюю и дисперсию.

14. Выборка задана в виде распределения частот:

X_i 2 5 10

n_i 5 7 8

Найти распределение относительных частот. Вычислить выборочную среднюю и дисперсию.

15. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания μнормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю X_B = 15, объем выборки n = 49и среднее квадратичное отклонение s_x = 8.

16. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания μ нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю X_B =10, объем выборки n = 25и среднее квадратичное отклонение s_x = 4.

Вопросы для подготовки к экзамену

1. Прямоугольная система координат. Расстояние между двумя точками.

2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой линии отрезка.

4. Уравнение прямой линии, проходящей через две точки.

5. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

6. Определители второго и третьего порядка.

7. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке или столбцу.

8. Матрица. Основные операции над матрицами.

9. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

10. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

11. Предел функции, свойства пределов. Способы вычисления пределов. Неопределенности вида 0/0 и / . Способы раскрытия неопределенностей.

12. Первый и второй замечательные пределы.

13. Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Производные элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции

14. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.

15. Дифференциал функции, его свойства. Применение дифференциалов для приближенных вычислений.

16. Асимптоты графика функций. Нахождение асимптот.

17. Интервалы возрастания и убывания функции

18. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точка перегиба

19. Экстремумы. Нахождение экстремумов.

20. Общая схема исследования функций и построение их графиков.

21. Неопределенный интеграл. Свойство интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование.

22. Интегрирование методом замены переменной.

23. Интегрирование по частям.

24. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница.

25. Вычисление площадей плоских фигур.

26. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства.

27. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Противоположное событие.

28. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

29. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

30. Вероятность появления хотя бы одного события.

31. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

32. Повторные испытания. Формула Бернулли.

33. Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретных случайных величин.

34. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.

35. Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

36. Определение функции распределения. Свойства функции распределения. График функции распределения.

37. Определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения.

38. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Задание для контрольной работы и методические

рекомендации по ее выполнению

Студенту-заочнику, во-первых, необходимо ознакомиться с содержанием программы, во- вторых, следует выбрать один учебник в качестве основного и придерживаться его при изучении всего курса.

Требование к выполнению и оформлению контрольной работы:

1. Контрольная работа выполняется в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляются поля 3-4 см с левой стороны страницы для замечаний рецензента. Следует пронумеровать страницы.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя и отчество студента, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины. Следует указать дату отсылки работы в учебное заведение и адрес студента.

3. Условие задачи должны быть обязательно переписаны полностью в тетрадь. Решение задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в задании, номера заданий следует указывать перед условием. Каждую задачу надо начинать с новой страницы. Контрольная работа, которая содержит не все задания, а также содержащие задачи не своего варианта, не будет зачтена.

4. При оформлении записей в тетради необходимо выполнять требования:

а) соблюдать абзацы, всякое новое высказывание следует начинать с красной строки, в конце выполнения задания записывается ответ;

б) формулы, определения нужно выделять в отдельные строки, чтобы сделать их более обозримыми;

в) необходимо правильно употреблять математические символы.

5. Решение задач должно сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями.

6. Чертежи следует выполнять аккуратно карандашом с использованием чертежных инструментов.

7. В конце работы следует указать литературу, которой пользовались.

8. Если в работе допущены недочеты и ошибки, то в кратчайший срок студент должен исправить все замечания, которые указал рецензент, в этой же тетради.

9. Контрольная работа должна быть выполнена в срок в соответствии с учебным планом-графиком. В период сессии работа на проверку не будут приниматься.

10. Студент, не имеющий зачета по контрольной работе, к экзамену не допускается.

11. Во время экзамена зачтенная контрольная работа представляется преподавателю вместе с методическими рекомендациями.

Контрольная работа имеет 10 вариантов. Варианты выбираются по последней цифре номера шифра зачетной книжки. Например, если последняя цифра номера шифра зачетной книжки равна 5, то студент должен решать примеры и задачи под номерами, которые оканчиваются на цифру 5, то есть 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 105, 115 если последняя цифра номера шифра зачетной книжки – 0, то номера примеров и задач – 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120 и т.д.