Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Решение уравнений и их систем – команда solveСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Для решения систем уравнений и одиночных уравнений служит команда solve(expr1, expr2,..., exprN, var1, var2,..., varN). Она возвращает значения переменных varI, при которых соблюдаются равенства, заданные выражениями exprI. Если в выражениях не используются знаки равенства, то полагается, что exprI = 0. Результат может быть возвращен в следующих формах: для одного уравнения и одной переменной решение возвращается в виде одномерного или многомерного массива ячеек; при одинаковом числе уравнений и переменных решение возвращается в упорядоченном по именам переменных виде. Команда solve позволяет найти не только вещественные, но и комплексные решения систем уравнений и одиночных уравнений. Справку по этой команде можно получить, введя команду doc solve. Пример: Решить уравнение x3 - 1 = 0. Решение: >> syms x,y=x^3-1;S=solve(y) S = [ 1] [ -1/2+1/2*i*3^(1/2)] [ -1/2-1/2*i*3^(1/2)] В результате получены три разных значения корня x1 = 1, x2 =, x3 =, которые хранятся соответственно в элементах S(1), S(2), S(3) массива S. С помощью subs (разд. 7.7) подставим найденные значения корней в выражение x3 - 1: >> subs(y,x,S) ans = [ 0] [ (-1/2+1/2*i*3^(1/2))^3-1] [ (-1/2-1/2*i*3^(1/2))^3-1] >> [m]=simple(ans) m = [ 0] [ 0] [ 0] Выражение x3 - 1 принимает значение 0 при подстановке любого из найденных корней, поэтому x1, x2, x3 являются точными корнями уравнения x3 - 1 = 0. Команда roots (см. разд. 6.1) нашла бы только приближенные значения корней уравнения x3 - 1 = 0. В общем случае полиномиальное уравнение степени выше 4 не может иметь точного решения, выраженного с помощью радикалов. Команда solve позволяет решать уравнения, представленные в аналитическом виде. Пример: Решить квадратное уравнение ax2+bx+c = 0. Решение: >> S=solve('a*x^2+b*x+c=0',x) S = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] Команда solve возвратила известные выражения корней x1,2 = квадратного уравнения ax2+bx+c = 0. Точно также можно выразить с помощью радикалов решения кубического уравнения ax3+bx2+cx+d = 0, хотя эти выражения достаточно сложные. Пример: Решить трансцендентное уравнение xlnx+1 - 1 = 0. Решение: >> syms x >> S=solve('x^(log(x)+1)-1',x) S = [ exp(0)] [ exp(-1)] Проверка: >> subs(x^(log(x)+1)-1,x,S) ans = [ 0] [ 0] В данном случае solve нашла точные значения корней x1 = 1, x2 = e−1. Пример: Решить трансцендентное уравнение lnx + 3 - x = 0. Решение: >> solve('log(x)+3-x=0') ans = [ -lambertw(-exp(-3))] [ -lambertw(-1,-exp(-3))] Команда solve возвратила значения корней, выраженные через функцию Ламберта. Команда vpa возвращает приближенные значения этих корней, вычисленные с 20 значащими цифрами: >> vpa(ans,20) ans = [.52469097457714872410e-1] [ 4.5052414957928833670] Каждый из приближенных корней этого уравнения был найден по отдельности в разделе 6.2 с помощью команды fzero. Отметим, что команда solve нашла приближенные значения двух корней одновременно с высокой точностью. При этом не пришлось графически определять интервалы изоляции корней. Решение любого трансцендентного уравнения, в том числе и тригонометрического (разд. 7.17), достаточно сложная и серьезная проблема. Иногда solve возвращает неверные решения. Пример: Решить трансцендентное уравнение sinxlnsinx+xx - 2 = 0. Решение: >> syms x Y=sin(x)^log(sin(x))+x^x-2; >> S=solve(Y) S = 1/2*pi >> subs(Y,S) ans = -1+(1/2*pi)^(1/2*pi) >> vpa(ans,5) ans = 1.0327 Найденное решение неверное, т. к. оно не прошло проверку подстановкой. Команда solve может возвратить не все решения. Пример: Решить трансцендентное уравнение sinx+lnx+ex - 1 = 0. Решение: >> syms x >> Y=sin(x)+log(x)+exp(x)-1; >> S=solve(Y); >> vpa(S,5) ans = -3.0553-1.7145*i >> subs(Y,S) ans = -.8e-31-.1e-30*i Возвратив приближенный комплексный корень уравнения x1 = -3,0553 - 1,7145i, solve не нашла вещественный корень. С помощью команды ezplot (разд. 7.16) графически определяем, что он находится вблизи значения 0,4 (рис. 7.2): >> ezplot('sin(x)+log(x)+exp(x)-1',[0,1,-1, 3]) >> grid
Рис.7.2 Вещественный корень со стартовым приближением 0,4 найдем с помощью команды fzero (разд. 6.2): >> format long >> [X,f]=fzero('sin(x)+log(x)+exp(x)-1',0.4) X = 0.40716029855672 f = -2.220446049250313e-016 Итак, приближенное значение вещественного корня x2=0,4072. Перейдем теперь к системам уравнений. Пример: Решить систему уравнений
Решение: Результатом выполнения команды solve является структура S с полями x и y, каждое из которых содержит символьное представление решения: >> syms x y >> Y1=x+y-3; >> Y2=x*y^2-4; >> S=solve(Y1,Y2,x,y) S = x: [3x1 sym] y: [3x1 sym] Выведем в командное окно содержимое структуры: disp([S.x S.y]) [ 4, -1] [ 1, 2] [ 1, 2] Получили три решения (x1;y1) = (4; -1) и (x2;y2) = (1;2) (второе – кратности 2), причем (x1;y1) хранится в [S.x(1) S.y(1)], а (x2;y2) – в [S.x(2) S.y(2)]: >> disp([S.x(1) S.y(1)]) [ 4, -1] >> disp([S.x(2) S.y(2)]) [ 1, 2] Для проверки подставим в выражения Y1 = x+y - 3 и Y2 = xy2 - 4 вначале первое решение, а затем второе: >> disp(subs([Y1 Y2],[x y],[S.x(1) S.y(1)]) [ 0, 0] >> disp(subs([Y1 Y2],[x y],[S.x(2) S.y(2)]) [ 0, 0] Как видим, найдены точные решения, т. к. выражения Y1 и Y2 при их подстановке обратились в 0. Команда solve допускает использование символьных переменных в качестве выходных аргументов. Эквивалентное обращение к solve в предыдущем примере имеет вид: >> [x,y]=solve(Y1,Y2,x,y) x = [ 4] [ 1] [ 1] y = [ -1] [ 2] [ 2] Команда solve позволяет решать системы уравнений, заданные в аналитическом виде. Пример: Решить систему уравнений относительно x, y, z
Решение: >> syms a b c x y z >> Y1=(a+b)/(x+y)+(b+c)/(y+z)-(c+a)/(z+x)-1; >> Y2=(a+b)/(x+y)-(b+c)/(y+z)+(c+a)/(z+x)-1; >> Y3=-(a+b)/(x+y)+(b+c)/(y+z)+(c+a)/(z+x)-1; >> S=solve(Y1,Y2,Y3,x,y,z) S = x: [1x1 sym] y: [1x1 sym] z: [1x1 sym] >> disp([S.x S.y S.z]) [ a, b, c] Проверим найденное решение (a;b;c) подстановкой в систему: >> subs([Y1 Y2 Y3],[x y z],[S.x S.y S.z]) ans = [ 0, 0, (-a-b)/(a+b)+1] >> disp(simplify(ans)) [ 0, 0, 0] Убеждаемся, что решение найдено верно. Иногда системе MATLAB можно помочь, преобразовав уравнение или систему уравнений к эквивалентному виду. Например, уравнение ln(4 - 2x)+x2 - 2 = 0 имеет эквивалентный вид e2−x²+2x - 4 = 0. Можно проверить, что для каждого из этих уравнений команда solve возвращает свой вещественный корень. Это будут разные корни, но каждый из них удовлетворяет исходному уравнению. Существует и третий вещественный корень, который можно найти с помощью команды fzero. Пример: Решить систему трансцендентных уравнений
Решение: >> syms x y >> Y1=3^y*9^x-81; >> Y2=log10((y+x)^2)-log10(x)-2*log10(3); >> S=solve(Y1,Y2,x,y) S = x: [4x1 sym] y: [4x1 sym]S = >> R=[S.x S.y]; >> disp(vpa(R,10)) [ 16.00000002, -28.00000004] [ 16.00000002, -3.999999992] [ 1.000000000, -3.999999996] [ 1.000000000, 1.999999996] Получили 4 приближенных решения c 10 значащими цифрами. Однако системе удовлетворяют только первое и последнее из них. Убедимся в этом подстановкой: >> disp(vpa(subs([Y1,Y2],[x y],[S.x(1) S.y(1)]),15)) [.1e-12,.15e-13] >> disp(vpa(subs([Y1,Y2],[x y],[S.x(2) S.y(2)]),15)) [ 22876792454891.6,.25e-13] >> disp(vpa(subs([Y1,Y2],[x y],[S.x(3) S.y(3)]),15)) [ -80.8888888888889,.31e-13] >> disp(vpa(subs([Y1,Y2],[x y],[S.x(4) S.y(4)]),15)) [ -.71e-11,.18e-13] Приближенное равенство [Y1,Y2]» [0,0] выполняется только при подстановке в систему первого и последнего решений. В остальных случаях [Y1,Y2] ≠ [0,0]. Алгебраическими преобразованиями приведем исходную систему к эквивалентной системе
Решим ее: >> syms x y >> S=solve('y+2*x=4','(y+x)^2/x=9',x,y); >> [S.x S.y] ans = [ 1, 2] [ 16, -28] Получили два точных решения, являющихся также решениями исходной системы. Пример: Решить cистему нелинейных уравнений
Решение: >> syms x y z >> Y1=x+x^2-2*y*z-.1; >> Y2=y-y^2+3*x*z+.2; >> Y3=z+z^2+2*x*y-.3; >> S=solve(Y1,Y2,Y3,x,y,z); >> R=[S.x S.y S.z]; >> disp(vpa(R,6)) [ -.541941+.626019e-1*i, -.179057-.433417*i,.148543-.344892*i] [ -.541941-.626019e-1*i, -.179057+.433417*i,.148543+.344892*i] [.128241e-1, -.177801,.244688] [ -1.08804, -.130325,.161425e-1] [.578802e-1,.156279e-1, -1.24040] [.374678+.356411*i,.353227-.580416*i, -.281751+.419593*i] [.374678-.356411*i,.353227+.580416*i, -.281751-.419593*i] [.121093, 1.17493,.152166e-1] Получено 8 приближенных решений с 6 значащими цифрами, 4 из которых вещественные (c 3 - го по 5 - е и 8 - е). В разделе 6.2 командой fsolve было найдено 4 - е решение. Проверим все 8 решений подстановкой с помощью цикла for: >> for i=1:8 T=subs([Y1 Y2 Y3],[x y z],[S.x(i) S.y(i) S.z(i)]); disp(vpa(T,6)) end [ -.5e-31-.1471e-30*i, -.32e-30+.71e-30*i,.25e-30+.103e-29*i] [ -.5e-31+.1471e-30*i, -.32e-30-.71e-30*i,.25e-30-.103e-29*i] [.12e-30,.9e-31, -.13e-30] [.8e-31,.14e-30, -.3e-31] [.2e-31, -.6e-31, -.14e-30] [.637e-29+.829e-29*i, -.754e-29+.15e-30*i,.709e-29-.346e-29*i] [.637e-29-.829e-29*i, -.754e-29-.15e-30*i,.709e-29+.346e-29*i] [.17422e-27, -.1012e-28,.12735e-27] При подстановке любого из решений [Y1 Y2 Y3]» [0 0 0]. Значит, каждое из них удовлетворяет системе уравнений.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 263; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.223.195.127 (0.01 с.) |