Классификация интегральных уравнений

Г.А.Шишкин

Линейные интегральные

Уравнения Вольтерра

 

 

 

Улан-Удэ

2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИя И Науки

российской федерации

Бурятский государственный университет

 

 

Г.А.Шишкин

Линейные интегральные

Уравнения Вольтерра

Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару

Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ

в качестве учебного пособия для студентов направления

010400.62 «Прикладная математика и информатика»

 

Улан-Удэ

Издательство Бурятского Госуниверситета

УДК 511 968

Ш 655

 

Утверждено к печати редакционно-издательским

советом Бурятского госуниверситета

Р е ц е н з е н т ы

А.Д. Мижидон, д-р техн. наук, проф.

В.В. Кибирев, канд. физ-мат. наук, проф.

 

 

Шишкин Г.А.

Ш 655 Линейные интегральные уравнения Вольтерра: учебное пособие. – Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2012. - 59 с.

 

В учебном пособии кратко изложены основные разделы теории интегральных уравнений Вольтерра. Главное внимание уделено изложению вопросов, касающихся типов уравнений и методов их решения. Рассмотрена теорема существования и единственности решения и ряд других наиболее важных теорем. К каждому типу уравнений и рассмотренных в пособии методов их решения приведены примеры с решениями, в последнем параграфе дан список задач для самостоятельного решения.

Пособие предназначено студентам специальности «Прикладная математика и информатика», может использоваться студентами специальностей: «Математика», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Математические методы в экономике» «Физика» и др.

 

 

© Шишкин Г.А., 2012

© Бурятский госуниверситет, 2012

Введение

Уравнение называют интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла. Интегральные уравнения – это функциональные уравнения специального типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твердого тела [16]. Теория интегральных уравнений составляет значительный раздел математического анализа и имеет большое теоретическое и прикладное значение. В настоящее время всё чаще интегральные уравнения рассматривают как самостоятельную дисциплину. Отдельные интегральные уравнения встречались уже в первой половине XIX в., но систематическая их теория была заложена на рубеже XIX и XX вв. в работах итальянского математика В.Вольтерра (1860-1940), шведского математика И. Фредгольма (1866-1927), Д. Гильберта (1862-1943) и других математиков [31].

Этот предмет имеет долгую и извилистую историю. Своим возникновением он обязан Даниилу Бернулли и затем в течение двух столетий усилия математиков были направлены на решение проблемы колебаний среды (механической, акустической, оптической, электромагнитной) и связанной с ней краевой задачей теории потенциала, которая сводится к решению интегральных уравнений.

Один из первых, если не первый, результат, который можно связать с интегральными уравнениями, это формулы обращения Фурье(1811):

 

, (1)

 

. (2)

Можно считать, что формула (2) дает решение интегрального уравнения (1), в котором – неизвестная, а - данная функция.

!!! Работа Фурье «Théorie analy lique delachaleur» (1822) стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал (1885) существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей. Последнее десятилетие XIX века пришлось на создание Пуанкаре его мощных теоретико-функциональных методов. Вместе с К. Нейманом они приступили к рассмотрению гармонической краевой задачи, которая сводилась к решению интегрального уравнения.

Однако тот факт, что в более простых ситуациях в непрерывном предельном случае возникают дифференциальные, а не интегральные уравнения, на целых два столетия приковал внимание математиков к дифференциальным уравнениям.

Важным моментом в изучении линейных интегральных уравнений явилась работа Вольтерра (1896), в которой он исследовал уравнения вида

 

 

(3)

где неизвестная функция, и данные функции, - численный параметр, и доказал, что если и непрерывны в некотором сегменте [ a,b ], то в этом сегменте уравнение (3) имеет при любом значении одно и только одно непрерывное решение, которое можно построить по методу последовательных приближений. Уравнения вида (3) принято называть уравнениями Вольтерра.

В 1900 Э.И. Фредгольм изложил основные свойства и теоремы теории линейных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, разработал общие методы решения этого вида уравнений, которые теперь называют уравнениями типа Фредгольма. Фредгольм дал красивое и оригинальное решение этого класса уравнений, которое открывало некоторую аналогию между интегральными уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями. В работах Фредгольма была реализована также идея превращения системы линейных уравнений, описывающей дискретную систему масс, в интегральные уравнения при переходе к предельному случаю сплошной среды. Тем не менее, надо отметить, что результаты Фредгольма вытекают из специального вида его уравнения, которое возникает при решении проблем математической физики [16].

Уравнения Вольтерра второго рода типичны при описании физических процессов, связанных с явлениями последействия. В этих уравнениях переменная x обычно обозначает время. Тогда состояние системы, характеризуемое функцией , определяется внешним воздействием и зависит от состояния системы в предшествующие моменты времени. Ядро описывает величину последействия состояния системы в момент s на состояние системы в момент x>s [33].

Интегральные уравнения встречаются в различных областях науки и многочисленных приложениях (в теории упругости, теории пластичности, гидродинамике, теории массопереноса и теплопереноса, теории управления, химической технологии, биомеханике, теории массового обслуживания, экономике, медицине и др.).

Интегральные уравнения Вольтерра имеют широкую область применения в прикладных задачах и для них были разработаны эффективные методы решения [7],[20] и др.

Целью настоящего пособия является рассмотрение основных методов аналитического решения линейных интегральных уравнений Вольтерра.

 

 

Задача o таутохроне

Найти кривую, скользя вдоль которой без трения тяжелая частица достигает своего самого низкого положения за одно и то же время независимо от её начального положения.

 

Решение. Выполним чертеж

 

 

и введем обозначения , Т – постоянная величина, - функция от h, кривую будем искать в виде .

Далее воспользовавшись формулой из физики

(2.1)

и формулами из курса математического анализа

 

, где , (2.2)

 

подставим формулы (2.2) в равенство (2.1)

 

, откуда .

 

Введем обозначение и так как с течением времени функция s(t) убывает, то оставляем знак минус

. (2.3)

 

Полученное равенство (2.3) проинтегрируем по t (0≤ t ≤ T), в то же время изменяется от h до 0 (h ≥ ≥ 0) и h – переменная величина

,

откуда

. (2.4)

 

Интегральное уравнение вида (2.4) есть уравнение Вольтерра первого рода, где u(x) - неизвестная функция. Решение таких уравнений впервые предложил Абель и поэтому уравнения такого вида называются уравнениями Абеля.

 

Высших порядков

, , , где . (2.6)

 

Положим

(2.7)

 

тогда

,

где – любое из отрезка [ a, b ] при нахождении общего решения и – начальное значение при решении задачи Коши. Интегрируя далее, необходимое число раз, найдём

и по формуле Коши для кратного интегрирования имеем

,

…………………………………………………………

 

,

,

………………………………………………………

 

 

,

 

. (2.8)

Найдем дифференциальный оператор , подставив в него полученные выражения для функции и её производных

.

 

Введем обозначения

 

,

 

 

.

 

Тогда выражение для дифференциального оператора перепишется

и вводя обозначение g(x) = f(x) – придем к разрешающему интегральному уравнению

, (2.9)

которое эквивалентно первоначальной задаче.

 

Степенных рядов

Для уравнений Вольтерра второго рода

(5.1)

будем искать решение в виде степенного ряда

. (5.2)

Подставим ряд (5.2) в уравнение (5.1)

(5.3)

и положив , найдем .

Затем, дифференцируя равенство (5.3) по и, полагая после каждого дифференцирования , последовательно определим следующие коэффициенты степенного ряда (5.2)

(5. )

Откуда, при найдем

Аналогично найдем для ,... Следующие коэффициенты определяются через значения и предыдущие коэффициенты.

В общем случае записать рекуррентную формулу для нахождения степенного ряда проблематично, а тем более доказать его сходимость. Так как далее мы рассмотрим более эффективные методы решения, то здесь этого делать не будем.

 

Для некоторых частных видов уравнений найти решение интегрального уравнения Вольтерра бывает не сложно. Приведем пример.

 

Пример 4. Найти решение уравнения

.

Решение. Будем искать решение в виде степенного ряда

Подставим этот ряд в данное уравнение

(*)

и, положив , найдем . Затем дифференцируем равенство (*)

(**)

и снова положив , найдем , т.е. . Далее дифференцируем равенство (**)

И положив , найдем 2 . Продолжаем те же операции далее

откуда при получим

.

Продифференцировав ещё раз найдём

откуда при получим

, и т.д. . , …

Нетрудно проверить, что получен точный ответ.

 

 

Уравнение второго рода

(6.1)

Теорема 1. Уравнение (6.1), если свободная функция и ядро - непрерывные функции при , имеет единственное непрерывное решение при любом значении параметра . Это решение может быть найдено методом последовательных приближений.

 

Доказательство. Примем за начальное приближение свободную функцию .

Выпишем рекуррентную формулу последовательных приближений по методу Пикара

(6.2)

В соответствии с условием теоремы имеем ограничения и используя которые оценим последовательные приближения (6.2) по модулю

,

…..………………………………………………………………………

 

…………………………………………………………………………..

 

при 0!=1.

 

Положим далее x = b, b > a и b любое, тогда

 

(6.3)

Как видим оценка го приближения к решению дается числовым рядом, который по признаку Даламбера сходится.

Действительно

 

Ряд в неравенстве (6.3) по построению является мажорирующим для ряда

(6.4)

частичная сумма которого равна

Тогда по критерию Вейерштрасса ряд (6.4) сходится абсолютно и равномерно и, следовательно, имеет непрерывную сумму

Остается доказать, что эта непрерывная функция является решением уравнения (6.1). Для этого в равенстве (6.2) перейдем к пределу

и в силу теоремы о единственности предела имеем

. (6.5)

Методом от противного докажем единственность полученного решения. Предположим, что существует другое решение тогда выполняется тождество

. (6.6)

Вычтем из тождества (6.5) тождество (6.6) и оценим по модулю эту разность

(6.7)

Неравенство (6.7) должно выполняться для всех значений следовательно оно выполняется и для и пусть этот максимум достигается в точке , тогда имеем неравенство

или откуда , что противоречит ранее доказанному, что может принимать любые значения. Противоречие снимается, если положить Единственность доказана.

 

Пример 5. Применив метод последовательных приближений найти приближённое решение уравнения

на отрезке с точностью

 

Решение. За начальное приближение примем свободную

 

функцию тогда

.

Затем находим

 

Далее по индукции выписываем

,

следовательно

 

.

 

За приближённое решение примем

 

,

 

тогда по теореме Лейбница для знакочередующихся рядов погрешность не превосходит максимума первого члена отброшенного остатка ряда, т.е.

 

.

Чтобы удовлетворить требуемую точность необходимо положить

 

,

 

тогда по той же теореме Лейбница имеем гарантированную погрешность

 

.

И так условие задачи выполнено.

 

Уравнения первого рода

. (6.8)

Теорема 2. Если в уравнении (6.8) ядро и свободная функция f(x) непрерывные функции при то уравнение (6.8) имеет единственное непрерывное решение при дополнительных условиях и что Это решение может быть найдено методом последовательных приближением сведением к интегральному уравнению Вольтерра второго рода после -кратного дифференцирования.

 

Доказательство. Продифференцируем уравнение (6.8)

. (6.9)

Если , то деля равенство (6.9) на этот множитель получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

, (6.10) решение которого существует и при том единственное по теореме 1.

Если , то дифференцируя равенство (6.10) и поделив полученное равенство на , при условии , получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Аналогично поступаем и в случае если что

 

Пример 6. Найти решение интегрального уравнения первого рода

 

Решение. Дифференцируя данное уравнение найдём

и к полученному интегральному уравнению Вольтерра второго рода

применим метод последовательных приближений.

Выпишем рекуррентную формулу

и приняв за начальное приближение , вычислим

.

Далее находим

, ,

, ,

и так далее.

Выпишем последовательность полученных приближений к искомому решению

или для данной задачи имеем

.

Нетрудно заметить, что пределом найденной числовой последовательности является число равное 1, следовательно искомая функция постоянна и равна единице.

Ответ: .

Сделаем проверку подставив решение в исходное уравнение

, .

Найденное решение удовлетворяет уравнению.

 

Литература

 

1. Васильева А.Б., Медведев Т.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. «Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление» - М., 2003.

2. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. «Интегральные уравнения» - М.: Физматлит, 2002.

3. Виарда Г. Интегральные уравнения, ГТТИ, 1933.

4. Вольтерра В., Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1982.

5. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Наука, физматлит. М, 1976. -286с.

6. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. ИЛ, 1960.

7. Забрейко П. П., Кошелев А. И. и др. Интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968.

8. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. – М.: Наука, 1962.

9. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. – М.: Наука, 1975.

10. Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. «Интегральные уравнения» - М.: УРСС., 2003.

11. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. – М.: Наука, 1965.

12. Ловит У. В. Линейные интегральные уравнения. – М.: Госиздат., 1957. – 266с.

13. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. // М.: Высшая школа, 1982.

14. Миргород В.Ф. «Обобщение методов аналитического решения некоторых типов интегральных уравнений Вольтерра второго рода»/ ОАО «Элемент», г. Одесса, Украина 2009.

15. Михлин С. Г. «Интегральные уравнения и их приложения» - М.: ОГИЗ., 1949.

16. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Физматгиз, 1959.

17. Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965.

18. Петровский И. Г. «Лекции по теории интегральных уравнений» - М.: УРСС., 2003.

19. Привалов И. И. Интегральные уравнения. ОНТИ, 1937.

20. Полянин А. Д., Манжирова А. В. «Справочник по интегральным уравнениям» - М.: Физматлит, 2003.

21. Тихонов А. Н., Самарский А. А. «Численные методы»

22. Цлаф Л. Я. «Вариационное исчисление и интегральные уравнения» - издательство «Лань», 2005.

23. Volterra V. Lesons sur les equations integrals et les equations integrals et les equations integrodifferentielles. - Paris.1913

24. Volterra V. Varigzioni e fluttuzioni del numero d' indivindin specie animali conviventi // R. Comit Tallas. Jt. Met.31.1927.

25. Volterra V. La teoria deifunzionall appiata aifenomene ereditari // Atti congr.lut. Mat., Bolongna,v.1,1928.

26. Volterra V. Sulla inversion degli integrali definite. Rend. Accad. Lincei, 1896, 5. p. 177-185.

27. Volterra V. Theory of functional and of integral and integro – differenstial equations. - London – Grasqov, 1930.

28. Volterra V. Theory of functional and of integral and integro – differenstial equations.- London 1931.

29. Volterra V. The general equations of biological strife in the case of historical actions // Proc. Edinburgh Math.Soc.6.1939.- C/ 4-10.

30. www.intuit.ru

31. www.wikipedia.ru

32. www.eqworld.ipmnet.ru

33. www.yabotanik.ru

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………. 3

§1. Классификация интегральных уравнений Вольтерра……………...7

§2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям Вольтерра…...11

§3. Интегральные уравнения Вольтерра как частный случай уравнений Фредгольма…………………………………………………19

§4. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования…………………………………………………….20

§5. Решение интегральных уравнений Вольтерра с помощью степенных рядов………………………………………………………...22

§6. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом последовательных приближений………………………………………25

§7. Уравнения с вырожденными ядрами………………………………32

§8. Решение уравнений Вольтерра с помощью ряда Неймана………37

§9. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Вольтерра………………………………………………………………..40

§10.Ррешение уравнений Вольтерра с разностными ядрами с помощью преобразования Лапласа…………………………………….45

§11. Задания для самостоятельного решения…………………………55

Литература………………………………………………………………60

 

Г.А.Шишкин

Линейные интегральные

Уравнения Вольтерра

 

 

 

Улан-Удэ

2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИя И Науки

российской федерации

Бурятский государственный университет

 

 

Г.А.Шишкин

Линейные интегральные

Уравнения Вольтерра

Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару

Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ

в качестве учебного пособия для студентов направления

010400.62 «Прикладная математика и информатика»

 

Улан-Удэ

Издательство Бурятского Госуниверситета

УДК 511 968

Ш 655

 

Утверждено к печати редакционно-издательским

советом Бурятского госуниверситета

Р е ц е н з е н т ы

А.Д. Мижидон, д-р техн. наук, проф.

В.В. Кибирев, канд. физ-мат. наук, проф.

 

 

Шишкин Г.А.

Ш 655 Линейные интегральные уравнения Вольтерра: учебное пособие. – Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2012. - 59 с.

 

В учебном пособии кратко изложены основные разделы теории интегральных уравнений Вольтерра. Главное внимание уделено изложению вопросов, касающихся типов уравнений и методов их решения. Рассмотрена теорема существования и единственности решения и ряд других наиболее важных теорем. К каждому типу уравнений и рассмотренных в пособии методов их решения приведены примеры с решениями, в последнем параграфе дан список задач для самостоятельного решения.

Пособие предназначено студентам специальности «Прикладная математика и информатика», может использоваться студентами специальностей: «Математика», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Математические методы в экономике» «Физика» и др.

 

 

© Шишкин Г.А., 2012

© Бурятский госуниверситет, 2012

Введение

Уравнение называют интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла. Интегральные уравнения – это функциональные уравнения специального типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твердого тела [16]. Теория интегральных уравнений составляет значительный раздел математического анализа и имеет большое теоретическое и прикладное значение. В настоящее время всё чаще интегральные уравнения рассматривают как самостоятельную дисциплину. Отдельные интегральные уравнения встречались уже в первой половине XIX в., но систематическая их теория была заложена на рубеже XIX и XX вв. в работах итальянского математика В.Вольтерра (1860-1940), шведского математика И. Фредгольма (1866-1927), Д. Гильберта (1862-1943) и других математиков [31].

Этот предмет имеет долгую и извилистую историю. Своим возникновением он обязан Даниилу Бернулли и затем в течение двух столетий усилия математиков были направлены на решение проблемы колебаний среды (механической, акустической, оптической, электромагнитной) и связанной с ней краевой задачей теории потенциала, которая сводится к решению интегральных уравнений.

Один из первых, если не первый, результат, который можно связать с интегральными уравнениями, это формулы обращения Фурье(1811):

 

, (1)

 

. (2)

Можно считать, что формула (2) дает решение интегрального уравнения (1), в котором – неизвестная, а - данная функция.

!!! Работа Фурье «Théorie analy lique delachaleur» (1822) стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал (1885) существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей. Последнее десятилетие XIX века пришлось на создание Пуанкаре его мощных теоретико-функциональных методов. Вместе с К. Нейманом они приступили к рассмотрению гармонической краевой задачи, которая сводилась к решению интегрального уравнения.

Однако тот факт, что в более простых ситуациях в непрерывном предельном случае возникают дифференциальные, а не интегральные уравнения, на целых два столетия приковал внимание математиков к дифференциальным уравнениям.

Важным моментом в изучении линейных интегральных уравнений явилась работа Вольтерра (1896), в которой он исследовал уравнения вида

 

 

(3)

где неизвестная функция, и данные функции, - численный параметр, и доказал, что если и непрерывны в некотором сегменте [ a,b ], то в этом сегменте уравнение (3) имеет при любом значении одно и только одно непрерывное решение, которое можно построить по методу последовательных приближений. Уравнения вида (3) принято называть уравнениями Вольтерра.

В 1900 Э.И. Фредгольм изложил основные свойства и теоремы теории линейных интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, разработал общие методы решения этого вида уравнений, которые теперь называют уравнениями типа Фредгольма. Фредгольм дал красивое и оригинальное решение этого класса уравнений, которое открывало некоторую аналогию между интегральными уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями. В работах Фредгольма была реализована также идея превращения системы линейных уравнений, описывающей дискретную систему масс, в интегральные уравнения при переходе к предельному случаю сплошной среды. Тем не менее, надо отметить, что результаты Фредгольма вытекают из специального вида его уравнения, которое возникает при решении проблем математической физики [16].