Интегральное исчисление функций одной независимой переменной

СОДЕРЖАНИЕ

 

Предисловие……………………………………………………………………………………….. 3
1.	Интегральное исчисление функций одной переменной….………..……………………...
	1.1. Неопределенный интеграл……………………………………………………………...
	1.2. Определенный интеграл………………………………………………………………...
	1.3. Приложение определенного интеграла………………………………………………..
2.	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных……………………...
3.	Дифференциальные уравнения………………………………..…...……………………….
Контрольная работа №4…………………………………………………………………………...
Контрольная работа №5…………………………………………………………………………...
Контрольная работа №6…………………………………………………………………………...
Список литературы…...……………………………………………………………………………

 

 

Пояснительная записка

Цель преподавания математики в вузе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Настоящее пособие для студентов очно-заочной и ускоренной формы обучения всех технических специальностей содержит методические указания и контрольные задания по курсам интегрального исчисления, дифференциального исчисления функций нескольких переменных, дифференциальным уравнениям.

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебной литературе, рекомендуемой в данном пособии.

Каждая задача контрольной работы содержит по 30 вариантов. Номер варианта расчетной работы определяется по последним двум цифрам номера зачетной книжки студента и соответствует этим цифрам, если они образуют число от 01 до 30. Если же число больше 30, то номер варианта равен остатку после деления этого числа на тридцать. Если же в остатке получен ноль, тогда ваш вариант 30.

Интегральное исчисление функций одной независимой переменной

Неопределенный интеграл

Рассмотрим основные методы отыскания неопределенного интеграла.

1. Непосредственное интегрирование. Данный метод основан на применении свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов.

 

Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)

1. .

2. .

3. .

4. , где - постоянная.

5. .

6. Если и , то

 

Таблица основных интегралов

при

 

Пример 1.1. Найти интеграл .

Решение. Используя свойства 4 и 5, получаем

.

Пользуясь таблицей интегралов, получаем

.

Пример 1.2. Найти интеграл .

Решение.

 

.

 

Свойство 6 позволяет расширить таблицу основных интегралов с помощью приема внесения функции под знак дифференциала.

Пример 1.3. .

Решение. Этот интеграл можно привести к табличному интегралу, преобразовав его следующим образом:

Теперь переменной интегрирования служит выражение и относительно этой переменной получим интеграл от степенной функции. Следовательно,

.

Пример 1.4. .

Решение. Поступая так же, как и в примере 1.3, имеем:

.

Пример 1.5. .

Решение. Выражение можно записать как , поэтому

.

2. Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1. , где - монотонная, непрерывно дифференцируемая функции новой переменной . Формула замены переменой в этом случае имеет вид

;

2. , где - новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

.

Пример 1.6. Вычислить интеграл: .

Решение. Воспользуемся подстановкой , то есть . Найдем дифференциал . Отсюда имеем

.

Ответ нужно выразить через старую переменную . Подставляя в результат интегрирования , получим

.

Пример 1.7. .

Решение. Положим , тогда , откуда . После подстановки в исходный интеграл получим

.

 

Замечание 1.1. Если интеграл является табличным, то интеграл можно найти с помощью подстановки . Фактически саму подстановку можно не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что . Таким образом,

,

где - первообразная для . Например,

, ,

и т.д.

Пример 1.8. .

Решение. Положим , тогда , откуда . После подстановки в исходный интеграл получаем

.

Пример 1.9. , где .

Решение. Для того чтобы свести интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Дополним теперь таблицу основных интегралов следующими формулами:

Пример 1.10. .

Решение. Выполним подстановку , тогда , и . Значит,

.

Пример 1.11. .

Решение. Преобразуя знаменатель дроби, получим . Воспользуемся подстановкой , тогда . Отсюда

.

Пример 1.12. .

Решение. Положим , тогда и

.

 

3. Интегрирование по частям. Интегрированием по частям называют нахождение интеграла по формуле

,

(1.1)

 

где , - непрерывно дифференцируемые функции от .

Замечание 1.2. Для интегралов вида , , , где - многочлен, в (1.1) за следует принять ; для интегралов вида , , за принимают выражение .

Пример 1.13. .

Решение. Положим в (1.1) , , тогда , . Используя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Пример 1.14. .

Решение. Положим в (1.1) , , тогда , . Используя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Определенный интеграл

Приложение определенного интеграла

Приведем некоторые приложения определенного интеграла.

Дифференциальные уравнения

Рассмотрим основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.

Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество.

.

В частности, функция называется однородной нулевого измерения, если для любых .

Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнении всегда можно представить в виде

.

(3.1)

Вводя новую искомую функцию , уравнение (3.1) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

При решении однородных уравнений переходить к виду (3.1) необязательно. Можно сразу делать подстановку , .

 

Пример 3.3. Решить уравнение: .

Решение. Разделив обе части уравнения на , имеем

, или .

Сделаем подстановку , , :

, , ,

Разделяем переменные

,

Интегрируем

,

,

Пусть теперь . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что - решение исходного уравнения. Оно является особым, так как его нельзя получить из общего решения ни при каком значении .

Пример 3.4. Решить уравнение: .

Решение. Сделаем подстановку , , :

, , ,

Разделим переменные

,

отсюда интегрированием находим

, ,

делая обратную подстановку, в итоге получаем:

.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид

,

где (при и это уравнение является линейным).

С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 3.7. Решить уравнение Бернулли

,

Решение. Умножим обе части уравнения на :

.

Сделаем замену , тогда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение:

,

общее решение которого

.

Отсюда получаем общий интеграл исходного уравнения:

.

Замечание 3.2. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .

Пример 3.8. Решить уравнение Бернулли

.

(3.10)

Решение. Ищем общее решение уравнения (3.10) в виде , . Подставляя выражения для и в (3.10), получим

,

или

.

(3.11)

Функцию находим из условия

, ,

разделяем переменные

,

интегрируем:

.

, откуда . Возьмем, например, частное решение , подставляя его в (3.11), получаем уравнение . Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменным, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем

; ,

следовательно, общее решение уравнения (4.10) будет

.

Укажем некоторые видыдифференциальных уравнений, допускающие понижение порядка.

1. Уравнение вида . После -кратного интегрирования получается общее решение.

2. Уравнение не содержит искомой функции и ее производной до порядка включительно:

(3.12)

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой . Тогда Уравнение (3.12) примет вид

Из последнего уравнения определяем , а затем находим из уравнения -кратным интегрированием.

3. Уравнение не содержит независимой переменной:

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом рассматривается как новая функция от : . Все производные выражаются через производные от новой неизвестной функции по :

, и т.д.

Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение -го порядка.

Пример 3.9. Найти общее решение уравнения .

Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем

,

,

.

Пример 3.10. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение явно не содержит . Сделаем подстановку , , тогда получим - уравнение с разделяющимися переменными.

, , .

Делая обратную замену, получаем , откуда .

Пример 3.11. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Данное уравнение явно не содержит . Сделаем подстановку , , тогда получим

, .

Рассмотрим два случая:

1. , , - особое решение.

2. ; ; ;

интегрируем обе части последнего уравнения, получаем

, , .

Учитывая, что ,

, .

После интегрирования получаем общий интеграл данного дифференциального уравнения:

.

 

Особое внимание следует уделить линейнымдифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами:

,

(3.13)

где и - постоянные величины.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(3.14)

Уравнение вида

(3.15)

называется характеристическим уравнением для уравнения (3.14). Вид общего решения уравнения (3.14) зависит от корней характеристического уравнения. Обозначим эти корни через .

Если корни характеристического уравнения вещественные и , то общее решение уравнения (3.13) имеет вид

.

(3.16)

Если корни уравнения (3.15) вещественные и равные, то есть , то общее решение уравнения (3.14) имеет вид:

.

(3.17)

Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение уравнения (3.14) имеет вид:

.

(3.18)

Пример 3.12. Найти общее решение уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Находим корни , . Применяя формулу (3.16), запишем общее решение уравнения:

.

Пример 3.13. Найти общее решение уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Корни уравнения . Применяя формулу (3.17), запишем общее решение уравнения:

.

Пример 3.14. Найти общее решение уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение . Корни уравнения . В силу формулы (3.18) общее решение уравнения имеет вид:

.

 

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (3.13).

Теорема 4.1. Общее решение неоднородного уравнения (3.13) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3.14) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения: .

 

В случае, когда правая часть уравнения (3.13) имеет вид

,

где и - многочлены степени и соответственно, частное решение неоднородного уравнения находится так называемым методом подбора. Вид частного решения следует искать в одной из следующих форм.

Сводная таблица видов частных решений

Контрольная работа №4.

«Интегральное исчисление функции одной независимой переменной»

Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы

1.1	1.	2.	3.	4.
1.2	1.	2.	3.	4.
1.3	1.	2.	3.	4.
1.4	1.	2.	3.	4.
1.5	1.	2.	3.	4.
1.6	1.	2.	3.	4.
1.7	1.	2.	3.	4.
1.8	1.	2.	3.	4.
1.9	1.	2.	3.	4.
1.10.	1.	2.	3.	4.
1.11.	1.	2.	3.	4.
1.12.	1.	2.	3.	4.
1.13.	1.	2.	3.	4.
1.14.	1.	2.	3.	4.
1.15.	1.	2.	3.	4.
1.16.	1.	2.	3.	4.
1.17.	1.	2.	3.	4.
1.18.	1.	2.	3.	4.
1.19.	1.	2.	3.	4.
1.20.	1.	2.	3.	4.
1.21.	1.	2.	3.	4.
1.22.	1.	2.	3.	4.
1.23.	1.	2.	3.	4.
1.24.	1.	2.	3.	4.
1.25.	1.	2.	3.	4.
1.26.	1.	2.	3.	4.
1.27.	1.	2.	3.	4.
1.28.	1.	2.	3.	4.
1.29.	1.	2.	3.	4.
1.30.	1.	2.	3.	4.

Задача 2. Вычислить неопределенные интегралы

2.1.	1.	2.
2.2.	1.	2.
2.3.	1.	2.
2.4.	1.	2.
2.5.	1.