Дифференциальное исчисление функций одного переменного

Глава VII

Дифференциальное исчисление функций одного переменного

П. 1 Определение производной

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то он называется производной функции в точке :

.

 

Геометрический смысл производной

Заметим, что в – угол наклона хорды , где , а б - угла наклона касательной, проведенной к графику функции . Если , то . Это значит, что . Таким образом, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

 

Физический (механический) смысл производной

Пусть точка движется по закону . Вычислим среднюю скорость движения за момент времени : . Устремим , тогда .

Таким образом, значение производной перемещения в момент времени равно мгновенной скорости движения точки в данный момент времени.

Рассмотрим функцию .

Тогда .

Пример. Рассмотрим функцию .

Тогда .

Пример. Рассмотрим функцию .

Тогда

.

Пример. Рассмотрим функцию .

Найдем значение производной данной функции при .

Так как ,

, то производная этой функции в точке не существует. Более того,

функция является производной исходной функции при .

 

Определение 2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , тогда называется дифференцируемой в этой точке, если приращение функции в данной точке представимо в виде:

, где и .

 

Теорема 1. Критерий дифференцируемости функции в точке

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке у нее существовала производная.

Доказательство:

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке , тогда по определению ее приращение можно представить в виде: .

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента: . Перейдем к пределу: .

С другой стороны, этот предел равен , т.е. .

 

Достаточность. Пусть существует . Тогда по определению производной: . Это значит, что: . Умножив последнее равенство на Dx, получим: .

Полагая, , мы получили определение дифференцируемости. ■

 

Замечание. Процесс нахождения производной функции в точке называют дифференцированием.

Замечание. Производную называют правой производной функции в точке , а производную - левой производной.

Таким образом, , причем .

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда по определению . Найдем . Значит, является бесконечно малой функцией. Следовательно, функция непрерывна в точке . ■

Замечание. Обратное утверждение неверно. Например, функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке.

 

Определение 3. Говорят, что функция дифференцируема на отрезке , если она дифференцируема в каждой внутренней точке этого отрезка.

 

Дифференцирование функций, заданных неявно

Определение 2. Пусть для каждой точки и плоскости существует единственное число . Тогда говорят, что на плоскости задана функция двух переменных и .

Определение 3. Придавая постоянные значения числу z (), получим уравнения, задающие линии в пространстве. Тогда функция , заданная уравнением , называется заданной неявно.

Для того, чтобы продифференцировать неявно заданную функцию , необходимо продифференцировать обе части уравнения .
Пример. Если , то уравнение задает окружности с центром на оси . Найдем производную функции , заданной уравнением : .

Формулы дифференцирования

 

1)

 

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как

, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■

 

2) .

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как , то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■

3) .

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как , то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 3 из второго замечательного предела. ■

 

4) .

 

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как

, то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■

 

5) .

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как

, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■

 

6) .

 

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим

. ■

 

7) .

 

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим

 

■

 

8) .

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим . ■

9) .

10) .

11) .

 

П. 3 Дифференциал функции

 

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , .

Определение 1. Дифференциалом функции называется главная часть приращения и обозначается. . Дифференциалом аргумента (вне зависимости от переменной) называют его приращение . Таким образом, дифференциал функции равен . Тогда производная функции равна .

 

Теорема 1. Теорема Ферма

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем - точка локального экстремума функции . Тогда .

Доказательство:

Для определенности пусть - точка локального экстремума, т.е. . Рассмотрим производную .

Так как , то получим, что . ■

 

Замечание. Теорема Ферма является необходимым условием экстремума. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

 

Пример. Рассмотрим функцию . Производная функции равна нулю при , но эта точка не является точкой экстремума функции.

Пример. Для квадратичной функции абсцисса вершины параболы является точкой экстремума, а ордината - экстремумом функции. Исходя из этого, найдем координаты вершины параболы. Так как и , , то .

 

Теорема 2. Теорема Ролля

Пусть непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем .Тогда найдется точка .

Доказательство:

Так как функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наименьшего значений (ТВГ, ТНГ).

Пусть , а . Тогда возможны два случая:

1. Если , то . Тогда .

2. Если , то пусть . Это значит, что на интервале , по крайней мере, в одной точке функция будет иметь экстремум, а по теореме Ферма . ■

Замечание. Все условия данной теоремы существенны. (рисунки – 3 шт.).

 

Теорема 2. Теорема Лагранжа

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда найдется точка .

Доказательство:

 

Введем вспомогательную функцию так, чтобы функция удовлетворяла теореме Ролля, т.е. :

, ,

.

Тогда ,

, . Таким образом, ■

Замечание. Геометрический смысл теоремы:

$ точка x, в которой касательная к графику функции имеет такой же наклон, как и хорда, соединяющая точки и . (Рисунок)

.

Замечание. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Теорема 3. Теорема Коши

Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем . Тогда такая, что .

Доказательство:

Докажем сначала, что . Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, значит, что . Отсюда .

Введем вспомогательную функцию так, чтобы она удовлетворяла условиям теоремы Ролля.

.

Тогда . Отсюда

.

Таким образом,

или . ■

Замечание. Теорема Коши является наиболее общей теоремой, т.е. теорема Ролля и Лагранжа являются следствиями из теоремы Коши.

 

Теорема 4. Теорема Лопиталя

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки , причем , и . Тогда .

Доказательство:

 

Рассмотрим окрестность . (Рисунок) Выберем последовательность . Тогда, начиная с некоторого номера N, члены последовательности попадают в эту окрестность. Тогда, так как и , то функции и в точке имеют устранимый разрыв. Доопределим эти функции до непрерывности: , . Тогда на отрезке данные функции непрерывны и дифференцируемы на интервале . Таким образом, выполняются все условия теоремы Коши. Это значит, что

, где , или .

Перейдем к пределу при : ,

. ■

 

Замечание. Если не существует, то из этого не следует, что не существует .

 

Пример. Вычислим

, но не существует.

Пример. Вычислим . Применяя правило Лопиталя, получим .

Замечание. Теорема Лопиталя сформулирована для неопределенности типа и имеет место для неопределенностей типа

 

Пример. Вычислим . Для этого прологарифмируем функцию . Тогда . Следовательно, .

 

П. 7 Формула Тейлора

 

Можно заметить, что чем больше производных совпадают у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют (приближают) друг друга в окрестности этой точки. Нас будет интересовать приближение функции в окрестности одной точки с помощью многочленов. Рассмотрим многочлен степени : . Заметим, что . Так как , то

. Аналогично получим ,

.

 

Определение 1. Функция называется гладкой порядка в точке на интервале , если она имеет все производные порядка включительно, причем эти производные являются непрерывными функциями на отрезке . Этот факт обозначается .

Определение 2. Выражение вида

называется формулой Тейлора для функции в окрестности точки .

Теорема 1. Если функция является гладкой порядка в некоторой окрестности точки , то имеет место формула Тейлора для данной функции .

Доказательство:

 

Пусть имеет место формула Тейлора для функции : , причем

, , . Обозначим

.

Используя правило Лопиталя, покажем, что . Так как , …, , ,

тогда =

=…= . ■

 

Замечание. В формуле Тейлора первое слагаемое называют главной частью функции, а второе – оста т очный член функции .

Если , то формулу Тейлора для функции называют формулой Маклорена.

Остаточный член в виде называют остаточным членом в форме Пеано.

Формула Тейлора используется для того, чтобы приблизить функцию многочленом -й степени в некоторой окрестности точки :

Пример. Разложим многочлен по степеням . Для этого найдем коэффициенты разложения: , ,

, . Тогда

.

Асимптоты

 

Определение 6. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если - БМФ при , т.е. .

 

Теорема 6. Функция имеет наклонную асимптоту тогда и только тогда, когда , а .

Доказательство:

 

Необходимость. Пусть функция имеет наклонную асимптоту. Тогда по определению . Разделим обе части равенства на и получим: .

Перейдем к пределу при :

. Следовательно,

Рассмотрим . Перейдем к пределу:

.

Достаточность. Пусть , . Тогда рассмотрим функцию в окрестности бесконечно удаленной точки :

где

=>

. ■

Замечание. Если , то говорят, что функция имеет горизонтальную асимптоту .

Замечание. Если на отрезке функция имеет разрыв второго рода в точке , то прямая называется вертикальной асимптотой.

 

Глава VII

Дифференциальное исчисление функций одного переменного