Теорема 2. О единственности разложения функции по формуле Тейлора

Если функция в некоторой окрестности точки имеет разложение по формуле Тейлора, то это разложение единственно.

Доказательство:

. Пусть функция имеет два разложения:

,

.

Вычтем одно из другого и получим:

.

Пусть , тогда . Разделим полученное равенство на . Получим

. Тогда при получим . Рассуждая аналогично, получим . Следовательно, . Таким образом, разложения совпадают. ■

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. можно найти такие две функции, которые будут иметь одинаковые разложения по формуле Тейлора в некоторой окрестности точки .

 

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена

 

1. Функция в окрестности точки имеет разложение , так как . Данное разложение позволяет вычислить .

2. Функция в окрестности точки имеет разложение , так как .

Аналогично имеют место следующие разложения:

3. ;

4. ;

5. .

 

П. 8 Исследование функции и построение графиков

 

Определение 1. Точка , в которой производная равна нулю или не существует, называется критической точкой функции .

Пример. Рассмотрим функцию . Произ-

водная функции не существует в точке . Следовательно, является критической точкой данной функции. (рисунок)

Пусть является критической точкой функции , дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки (кроме, может быть, самой точки ) и непрерывной в ней. Тогда, если производная меняет знак при переходе через точку , то в этой точке функция имеет экстремум, а именно, если меняет знак с “+” на “-”, то - точка максимума; если с “-” на “+”, то - точка минимума. Если производная знак не меняет, то экстремума в точке нет. Таким образом, например, если , то - точка максимума функции . Применим теорему Лагранжа. Так как , то неравенство имеет место для всех из левой полуокрестности точки . Так как

, то неравенство имеет место для всех из правой полуокрестности точки . Таким образом, получили определение точки максимума функции :

Аналогично рассуждая, получим, что если , то - точка минимума функции .

 

Теорема 1. Если является критической точкой функции и то:

1) если то точка минимума;

2) если то точка максимума;

3) если то требуется дополнительное исследование.

Доказательство:

Пусть - критическая точка функции и существует . Тогда существует производная .

Пусть . Тогда возрастает в окрестности . Следовательно, меняет знак в окрестности с “-” на “+”, т.е. - точка минимума функции . ■

 

Пример. Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции:

. Таким образом, - критические точки данной функции. Так как , то , . По теореме точка требует исследования знака первой производной: при всех из некоторой окрестности этой точки, поэтому точка не является точкой экстремума данной функции. Так как , то по теореме - точка минимума.

 

Понятие выпуклости и вогнутости функции

 

Определение 2. Функция называется выпуклой на отрезке , если выполняется неравенство Йенсена .

 

Пример. Покажем, что функция является выпуклой на всей числовой оси. Пусть .

Рассмотрим

.

Таким образом, .

 

Определение 3. Функция называется выпуклой на отрезке , если касательная, проведенная к графику функции в точке с абсциссой , проходит не выше хорды, стягивающей точки с координатами и . (Рисунок)

 

Определение 4. Функция называется вогнутой на отрезке , если выполняется неравенство .

 

Замечание. Выпуклость функции называют выпуклостью вниз, а вогнутость – выпуклостью вверх.

 

Теорема 2. Критерий выпуклости

Для того, чтобы функция , дифференцируемая на интервале была выпуклой на нем, необходимо и достаточно, чтобы монотонно возрастала на этом интервале. При этом строгому возрастанию соответствует строгая выпуклость .

Доказательство:

 

Необходимость. Пусть дифференцируема и выпукла на интервале . Тогда из определения выпуклости имеем, что , , , ;

, ; , . Так как то ,

,

,

,

,

,

. По теореме Лагранжа , где .

Таким образом, монотонно возрастает.

Достаточность. Пусть монотонно возрастает на интервале . Тогда по теореме Лагранжа , , так как

, ■