Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Теоремы о пределах последовательности.

Поиск

Теорема 1: (необходимый признак числовой последовательности):

если последовательность сходится, то она ограничена., если последовательность неограниченна, то она расходится.

Теорема Вейерштрасса: сформируем достаточный признак числовой последовательности: всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Теорема: если две последовательности {xn}и {yn} сходятся, т.е. имеют конечные пределы, то сходятся также сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей, т.е.:
=> и тд.

Теорема: если и начиная с некоторого номера выполняется неравенство xn yn, то а b.

Доказательство:
допустим, что а>b. Из равенств следует, что для любого >0 найдется такое натуральное число N(), что при всех n>N() будут выполняться неравенства и т.е.

и . Возьмем . Тогда: отсюда следует, что xn>yn, это противоречит условию xn yn следовательно, а b.


Предел функции.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:

Определение (по Коши): число А называется пределом функции в точке х0, если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х х0, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Коротко это определение:

.

Определение (по Гейне):

Число А называется пределом функции в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А.

Односторонние пределы:
число А называется пределом функции слева в точке x0, если для любого число >0 существует число = ()>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Предел функции при :

Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М() >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко:

 

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 существует число = (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают . Коротко:

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Бесконечно малая функция:
Функция называется бесконечно малой при , если : для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство .

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Док-во:

 

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Док-во:

 

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Док-во:

 

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

Док-во:

 

Односторонние пределы.


число А называется пределом функции слева в точке x0, если для любого число >0 существует число = ()>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

 

 

Сравнение бесконечно малых.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:

1. если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.

2. если то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. если то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

4. если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.

Таковы же правила сравнения б.м.ф. при и .

Эквивалентные бесконечно малые:

Sinx x, при ex - 1 x,
tgx x, ax - 1 x*lna,
arcsinx x, ln(1+x) x,
arctgx x, loga(1+x) x*logae
1-cosx , (1+x)k - 1 k*x, k>0,

 

Теоремы о пределах.

Теорема: если существует и и они равны между собой, то существует = .

Теорема: если , , то =>

1)

2)

3)

Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть .

Примечание 2:

Теорема: если , то функция g(x) = f(x) – a является б.м. при .

Следствие: если => в окрестности т. х0 g(x) + а = f(x), где g(x)- б.м. при .

Теорема: если и существуют конечные пределы, когда , => .

Теорема (о сжатой переменной): если и существуют конечные пределы => существует: .

Теорема (о пределе сложной функции):

Пусть: х0, , U=f(x), .

Сама теорема:

Если задана сложная функция, и существуют конечные пределы и , то

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 1288; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.226.187.60 (0.007 с.)