Первый замечательный предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом.

Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Доказательство:

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0<x< . На рисунке , дуга МВ численно равна центральному углу х, . Очевидно, имеем . На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенство на >0, Получим 1<

Так как , то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

А если x<0 => , где –x>0 =>

Второй замечательный предел.

Как известно, предел числовой последовательности , имеет предел равный e. . 1.Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует , поэтому . Если , то . Поэтому: ,

. По признаку существования пределов: . 2. Пусть . Сделаем подстановку –x=t, тогда = . и называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием e. Функция называется экспоненциональной, употребляется также обозначение .

 

 

Непрерывность функции в точке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует , равный значению функции f(x) в этой точке: =f(x0).

 

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке:

Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда

Замечание. Условие можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x0, x0 + δ).

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует односторонний предел

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x0 − δ, x0].

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел

Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций:

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывны

f(x) ± g(x),

f(x) · g(x),

, (g(x0) ≠ 0).

 

Классификация точек разрыва.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

 

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

 

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.

Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

 

Если значения на концах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке, либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке, то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

точка устранимого разрыва – когда пределы слева и справа существуют и равны между собой, но не совпадают со значением функции в точке х0 или функция не определена в точке х0.