![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Матрица и действия над матрицами.Содержание книги Поиск на нашем сайте
Матрица и действия над матрицами. Матрица - прямоуг таблица чисел, содерж m-строк и n-столбцов. 1. Матрицы равны между собой, если равны соответств элементы этих матриц. 2. Матрица, в которой m=n наз квадратной или n-ого порядка. 3. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов гл диагонали, равны 0 называется диагональной. 4. Диаг матрица, у которой каждый элемент главной диаг =1 наз единичной. 5. Квадратная матрица наз. треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону её гл диаг =0. 6. Матрица, у которой все числа, стоящие на гл диаг не нулевые, а также некоторое кол ненулевых строк, наз трапециевидной. 7. Матрица, содерж один столбец или строку, наз вектором из Rn пространства. Действия: · Сложение – только для матриц одинакового размера. · Умножение на число. Множества матриц одинакового размера обознач Mm*n. Тогда введённое на этом мн-ве операции сложения и умнож на число превращ Mm*n в линейное пр-во, векторами которого явл матрицы m*n. · Умножение на вектор-столбец. Для умножения матрицы на вектор-столбец надо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу координат вектора. · Две матрицы наз эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью элементарным преобраз. любую матрицу можно привести к канонической.
Умножение матриц. Согласованные матрицы. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm*n = (ai,g) на матрицу Вn*p = (bi,k) называется матрица Сm*p = (сi,k) такая, что:
где i= Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А). Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения. Если матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если AT=A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).
Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Определителем матрицы А называется число: - матрица второго порядка. Матрица 3-его порядка:
Свойства определителей: 1. если А и В – квадратные матрицы n*n, то: Замечание: АВ 2. 3. пусть А = (аi,j) и при этом ее какой-либо ряд (либо столбец, либо строка) i-я строка обладает свойством, что:
5. определитель = 0, если у него есть два одинаковых (пропорциональных) параллельных ряда. 6. определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 7. определитель треугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. 8. если в определителях поменять местами, то определитель поменяет знак. 9. если к какому-то ряду определителя прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на какое-то число (одинаковое), то определитель при этом не изменяется. 10. если какой-то ряд определителя содержит в себе обдщий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Обратная матрица. Процедура ее нахождения. Пусть есть матрица А – невырожденная. А-1, A-1*A=A*A-1=E, где E –единичная матрица. A-1 имеет те же размеры, что и A. Алгоритм нахождения обратной матрицы: 1. вместо каждого элемента матрицы аij записываем его алгебраическое дополнение. аij А* - союзная матрица. 2. транспонируем полученную союзную матрицу. А*Т 3. делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.
Теорема: (об аннулировании определителя):
Прямая на плоскости. Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствует в прямоугольной система координат разные виды ее уравнений. 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Пусть: tg Число tg Плоскость в пространстве. Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задавать различными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору: Точка Мо(Хо, Уо), вектор 2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: 3. Нормальное уравнение плоскости: 4. Угол между двумя плоскостями: 5. расстояние от точки до плоскости: Прямая в пространстве. 1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:
где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой. 2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:
3. Общие уравнения прямой: А1х +B1y + C1z + D1=0 A2x + B2y + C2z + D2=0 4. Векторное уравнение прямой: 5. уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки: 6. угол между прямыми: Эллипс. Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом. Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F1(C,0) и F2(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F1F2, то по F1М+F2M получаем: каноническое ур-ие эллипса b2=-(с2-a2). а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая. Эксцентриситет. (если а<b) Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса. У эллипса эксцентриситет находится: 0 Случай Директрисы (D) Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине Примечание: у окружности нет директрисы. Гипербола. Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой. Каноническое уравнение гиперболы: Гипербола есть линия второго порядка. Гипербола имеет 2 асимптоты: Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение: Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы: Так как для гиперболы с>а, то эксцентриситет гиперболы >1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: Директрисы – прямые Фокальные радиусы: Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными. Парабола. Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0).- полуфокальный диаметр. Парабола есть линия второго порядка.
М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим:
Каноническое уравнение параболы: Эллипсоид. Исследуем поверхность, заданную уравнением: Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:
z=h. Исследуем поверхность: А) если Б) если В) если h=0. Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу. Гиперболоид и конус. 1. Исследуем поверхность
z=h. или z=h полуоси: а1= полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. => х=0. Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом. 2.
3. Конус второй степени
a = b - конус вращения (прямой круговой).
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина). 1. Каноническое уравнение:
p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz. Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка. 2. Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Цилиндрические поверхности. Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.
Эллиптический цилиндр
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение x2 + y2 = R2. Уравнение x2=2pz определяет в пространстве параболический цилиндр. Уравнение: Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.
Полярная система координат. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.
Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом. Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох. Действительные числа. Действительные числа образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами. Если a и b - действительные числа (алгебраические, рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются и 1. a + b и ab (замкнутость), 2. a + b = b + a, ab = ba (коммутативность), 3. a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c, a(bc) = (ab)c = abc (ассоциативность 4. a * 1 = a (единица), 5. a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность), 6. из a + c = b + c следует a = b, из ca = cb,, следует a = b (сокращение).
Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами a + 0 = a, a * 0 = 0 для каждого действительного числа a.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, а действительными трансцендентными числами - остальные действительные числа. Предел последовательности. Число а называется пределом последовательности, если для любого положительного числа Е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется равенство:
Коротко определение предела: Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, неимеющая предела, называется расходящейся. Если Если
Предел функции. Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке: Определение (по Коши): число А называется пределом функции в точке х0, если для любого положительного
Коротко это определение:
Определение (по Гейне): Число А называется пределом функции Односторонние пределы: Предел слева записывают так: Аналогично определяется предел функции справа:
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Предел функции при Число А называется пределом функции при
Односторонние пределы.
Предел слева записывают так: Аналогично определяется предел функции справа:
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Сравнение бесконечно малых. Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения: 1. если 2. если 3. если 4. если Таковы же правила сравнения б.м.ф. при Эквивалентные бесконечно малые:
Теоремы о пределах. Теорема: если существует Теорема: если 1) 2) 3) Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть Примечание 2: Теорема: если Следствие: если Теорема: если Теорема (о сжатой переменной): если Теорема (о пределе сложной функции): Пусть: х0, Сама теорема: Если
Дифференциал функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х: Тогда можно записать: Следовательно: Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx. Можно также записать: Свойства дифференциала. Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv 2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv 3) d(Cu) = Cdu Доказательство. (с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция) Тогда матрица и действия над матрицами. Матрица - прямоуг таблица чисел, содерж m-строк и n-столбцов. 1. Матрицы равны между собой, если равны соответств элементы этих матриц. 2. Матрица, в которой m=n наз квадратной или n-ого порядка. 3. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов гл диагонали, равны 0 называется диагональной. 4. Диаг матрица, у которой каждый элемент главной диаг =1 наз единичной. 5. Квадратная матрица наз. треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону её гл диаг =0. 6. Матрица, у которой все числа, стоящие на гл диаг не нулевые, а также некоторое кол ненулевых строк, наз трапециевидной. 7. Матрица, содерж один столбец или строку, наз вектором из Rn пространства. Действия: · Сложение – только для матриц одинакового размера. · Умножение на число. Множества матриц одинакового размера обознач Mm*n. Тогда введённое на этом мн-ве операции сложения и умнож на число превращ Mm*n в линейное пр-во, векторами которого явл матрицы m*n. · Умножение на вектор-столбец. Для умножения матрицы на вектор-столбец надо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу координат вектора. · Две матрицы наз эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью элементарным преобраз. любую матрицу можно привести к канонической.
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 239; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.28.56 (0.016 с.) |