Элементарные функции алгебры логики

ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

 

Пример 2.2

Рассмотрим несколько функций двух переменных (табл.2.7).

 

Таблица 2.7

x 1	x 2	(x 1& x 2)	f 3	f 15

 

Покажем, что (х ₁& x ₂) существенно зависит от х ₁. Рассмотрим наборы (0,1) и (1,1), здесь a ₂=1, f (0, a ₂)=0 и не равно f (1, a ₂)=1. Покажем, что х ₂ – тоже существенная переменная. Рассмотрим наборы (1,0) и (1,1). Здесь a ₁=1, f (1,0)=0 и не равна f (1,1)=1. Для функции f ₃(x ₁, x ₂) покажем, что х ₂ – фиктивная переменная, т.е. надо показать, что не существует наборов (a ₁,0) и (a ₁,1) таких, что f ₃(a ₁,0) f ₃(a ₁,1). Пусть a ₁=0, т.е. рассмотрим наборы (0,0) и (0,1), f (0,0)= f (0,1)=0. Пусть a ₁=1, но f (1,0)= f (1,1)=1.

Для функции f ₁₅ x ₁ и x ₂ являются фиктивными переменными. x ₁–фиктивная переменная, так как существует набор (0, a ₂) и (1, a ₂), таких, что f (0, a ₂)¹ f (1, a ₂). Если a ₂=0, то f (0,0)= f (1,0)=1, если a ₂=1, тогда f (0,1)= f (1,1)=1. Аналогично доказывается, что – тоже фиктивная переменная.

Пусть х_i является фиктивной переменной для функции f (x ₁,..., x_i,..., x_n). Тогда ее можно удалить из таблицы истинности, вычеркнув все строки вида (a ₁,... a_{i– 1}, 1, a_{i +1},... a_n) или, наоборот, все строки вида (a ₁,..., a_{i– 1}, 0, a_{i +1},... a_n) и столбец для переменной х_i. При этом получим таблицу для некоторой функции g (x ₁,..., x_{i –1}, x_{i +1},... x_n). Будем говорить, что функция g (x ₁,... x_{i –1}, x_{i +1},... x_n) получена из функции f (x ₁,..., x _i,... x_n) путем удаления фиктивной переменной х_i или f получена из g путем введения фиктивной переменной х_i (табл.2.8).

Определение 2.4. Функции f ₁ и f ₂ называются равными, если f ₂ можно получить из f ₁ путем добавления или удаления фиктивной переменной.

 

Пример 2.3

Таблица 2.8

x 1	x 2	f 3

 

Вычеркнули строки типа (a,1), т.е. (0,1) и (1,1) и столбец для х ₂.

Получили f ₃(x ₁ x ₂) = g (x ₁) = x ₁.

Пример 2.4

Пусть функция g (x ₁ x ₂) задана табл. 2.9 и существенно зависит от обеих переменных.

Таблица 2.9

x 1	x 2	g

Построим функцию f (x ₁, x ₂, x ₃), которая получается из g (x ₁, x ₂) введением фиктивной переменной х ₃ (табл. 2.10).

Таблица 2.10

x 1	x 2	X 3	F

 

К наборам (х ₁, х ₂) мы добавим х ₃=0, получим наборы вида (a ₁, a ₂,0), на этих наборах функцию f положим равной g (a ₁, a ₂), затем добавим наборы вида (a ₁, a ₂,1), функцию f (a ₁, a ₂,1) положим равной g (a ₁, a ₂).

Особую роль играют константы 0 и 1, которые не имеют существенных переменных и которые можно рассматривать как функции от пустого множества переменных.

 

2.2. Формульное задание функции алгебры логики

 

Дадим индуктивное определение формулы над множеством. Это определение несколько сложное по форме, но будет полезно в дальнейшем. С индуктивным определением мы встречались в математическом анализе при определении n -го дифференциала dⁿf (x): было введено понятие первого дифференциала df (x), а затем n -й дифференциал определялся как первый дифференциал от d ^{(n –1)} f (x).

 

Определение 2.5. Пусть М Ì P ₂, тогда:

1) каждая функция f (x ₁,..., x _n)Î M называется формулой над M;

2) пусть g (x ₁,..., x_m)Î M, G ₁,..., G_m – либо переменные, либо формулы над M. Тогда выражение g (G ₁... G_n) – формула над M.

Формулы будем обозначать заглавными буквами: N [ f ₁,..., f_s ], имея в виду функции, участвовавшие в построении формулы, или N (х ₁,..., x_k), имея в виду переменные, вошедшие в формулу. G_{i ,} формулы, участвовавшие в построении g (G ₁,..., G_n), называются подформулами.

 

 

Пример 2.5. Пусть N ={(x ₁& x ₂),(x ₁Ú x ₂),(` x)}, тогда ((х ₁& х ₂)Ú х ₃) – формула над N.

Сопоставим каждой формуле N (x ₁,..., x_n) функцию f (x ₁,..., x_n)Î P ₂. Сопоставление будем производить в соответствии с индуктивным определением формулы.

1) Пусть N (x ₁,..., x_n)= f (x ₁,..., x_n), тогда формуле N (x ₁,..., x_n) сопоставим функцию f (x ₁,..., x_n).

2) Пусть N (x ₁,..., x_n)= g (G ₁,..., G_m), где каждое G_i – либо формула над M, либо переменная, тогда по индуктивному предположению каждому G_i сопоставлена либо функция f_i Î P ₂, либо переменная х_i, которую можно считать тождественной функцией. Таким образом, каждой формуле G_i сопоставлена функция f_i (), причем { }Í{ x ₁,..., x _n}, так как в формуле N (x ₁,..., x_n) перечислены все переменные, участвовавшие в построении формулы. Можно считать, что все функции f_i зависят от переменных (x ₁,..., x_n), причем какие-то переменные могут быть фиктивными. Тогда N (x ₁,..., x_n) = g (G ₁,..., G_m) = g (f ₁(x ₁,..., x_n),..., f_m (x ₁,.., x_n)). Сопоставим этой формуле функцию h (x ₁,..., x_n) следующим образом: пусть (a ₁,..., a_n) – произвольный набор переменных (x ₁,..., x_n). Вычислим значение каждой функции f_i на этом наборе, пусть (a ₁,..., a_n)= b_i, затем найдем значение функции g (x ₁,..., x_m) на наборе (b ₁,..., b_m) и положим h (a ₁,..., a_n) = g (b ₁,..., b_m) = g (f ₁(a ₁,..., a_n),..., f_m (a ₁,..., a_n)). Так как каждое f_i (x ₁,..., x_n) есть функция, то на любом наборе (a ₁,..., a_n) она определяется однозначно, g (x ₁,..., x_m) – тоже функция, следовательно, на наборе (b ₁,..., b_n) она определяется однозначно, h (x ₁,..., x_n) есть функция, определенная на любом наборе (a ₁,..., a_n).

Множество всех формул над M обозначим через < M >.

 

Определение 2.6. Две формулы N и D из < M > называются равными N = D или эквивалентными N ~ D, если функции, реализуемые ими, равны.

 

Упрощение записи формул

1) внешние скобки можно опускать;

2) приоритет применения связок возрастает в следующем порядке: ~, , Ú,&;

3) связка ־ над одной переменной сильнее всех связок;

4) если связка ־ стоит над формулой, то сначала выполняется формула, затем отрицание;

5) если нет скобок, то операции ~ и выполняются в последнюю очередь.

 

Пример 2.6. Доказать эквивалентность формул (табл. 2.11).

( &(х ₂Å x ₃))~().

 

Таблица 2.11

x 1	x 2	x 3	x 2Å x 3	&	x 2 x 3	x 3 x 2	&	Ú x 1

 

Пример 2.7

Упростим формулы:

1. x ₂ x ₃Ú x _{1 2} x ₃ = x ₃(x ₂Ú x _{1 2}) = x ₃((x ₂Ú x ₁)&(x ₂Ú ₂)) = (x ₁Ú x ₂) x _3.

2. x ₁Ú ₁ x ₂Ú _{1 2} x ₃Ú _{1 2} x ₃ x ₄= x ₁Ú ₁(x ₂Ú _{2 3} x ₄)= x ₁Ú ₁

(x ₂Ú x ₃Ú _{2 3} x ₄)=(x ₁Ú ₁)(x ₁Ú x ₂Ú x ₃Ú _{2 3} х ₄)= x ₁Ú(x ₂Ú x ₃)Ú() x ₄= = x ₁Ú(x ₂Ú х ₃Ú())(x ₂Ú x ₃Ú x ₄) = x ₁Ú x ₂Ú x ₃Ú x _4.

 

Принцип двойственности

 

Определение 2.7. Функция f *(x ₁,..., x_n) называется двойственной к функции f (x ₁,..., x_n), если f *(x ₁,..., x_n) = ( ₁,..., _n).

Пример 2.8. Покажем с помощью таблицы истинности

(табл. 2.13) что константа 0 двойственна к 1.

 

Таблица 2.13

x	f	f *

Функции f (x) = x и g (x) = двойственны сами себе (табл.2.14),

так как f *(0)= (1).

Таблица 2.14

x	f	f *	g	g *

Определение 2.8. Если f *(x ₁,..., x_n) = f (x ₁,..., x_n), то f (x ₁,..., x_n) называется самодвойственной.

Если f *– самодвойственна, то ( ₁,..., _n) = f (x ₁,..., x_n), т.е. на противоположных наборах функция принимает противоположные значения.

 

Пример 2.9. Покажем, что f (x ₁, x ₂, x ₃)= x ₁Å x ₂Å x ₃ – самодвойственна (табл. 2.15).

Таблица 2.15

x 1	x 2	x 3	f	f *

 

 

Пример 2.10. Покажем, что функция х₁Úх₂ двойственна к x₁&x₂, функция х₁ х₂ двойственна к функции x₁|x₂ (табл. 2.16).

 

 

Таблица 2.16

x 1 x 2	f = х 1Ú х 2	f *	g = x 1| x 2	g *= x 1 x 2
0 0 0 1 1 0 1 1

 

Теорема 2.1. О двойственных функциях

Если f * двойственна к f, то f двойственна к f *.

Доказательство. f *(x ₁,..., x_n) = ( ₁,..., _n). Найдем двойственную функцию к f *, т.е. (f *(x ₁,..., x_n))* = ( ( ₁,..., _n))* = ( ₁,..., _n) = f (x ₁,.., x_n).

Предположим, что функция задана формулой. Можно ли найти по этой формуле двойственную функцию? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

 

 

Теорема 2.2. О принципе двойственности

Пусть функция h (x ₁,..., x_n) реализована формулой h (x ₁,..., x_n) = = g (G ₁,..., G_m) = g (f ₁(x ₁,..., x_n),..., f_m (x ₁,..., x_n)), где какие-то переменные могут быть фиктивными. Тогда h *(x ₁,..., x_n) = g *(f ₁*(x ₁,..., x_n),..., f_m *(x ₁, …, x_n)), это означает, что если функция задана некоторой формулой, то, чтобы получить двойственную функцию, надо в этой формуле все знаки функций заменить на двойственные: 0 на 1, 1 на 0.

Доказательство. h *(x ₁,..., x_n) = ( ₁,..., _n) = (f ₁( ₁,..., _n),..., f_m ( ₁,..., _n)) = ( ₁( ₁,..., _n),..., ( ₁,..., _n)) = = ((),..., (() = g *(f ₁*(x ₁,..., x_n),..., f_m *

(x ₁,..., x_n)), что и требовалось доказать.

Если функция h (x ₁,..., x_n) реализуется формулой N [ f ₁,..., f_n ], то формулу, полученную из N заменой f_i, входящих в нее, на f_i * и реализующую функцию h *(x ₁,..., x_n), будем называть двойственной и обозначать N *(x ₁,..., x_n).

Пример 2.11. Построить формулу, реализующую f *, если f = =((x y) Ú z) (y (x Å yz)). Покажем, что она эквивалентна формуле N = z (x Å y).

Найдем (x Å y)* и (x y)*.

Таблица 2.17

x y	x Å y	(x Å y)*	x y	(x y)*
0 0 0 1 1 0 1 1

Из табл. 2.17 видно, что

(x y)*= x ~ y = = x y 1, x y = y x , (x y)* = y, x y = y.

По принципу двойственности

f *= yz ( (x (y z) 1))= yz z (x (y z) 1)= = z ( y Ú( x Å z Å ))= z ( y Ú (x Å z Å1))= z ( y Ú (x Å ))= = z y Ú(z x Å z ) = z ( y Ú x ) = z (x Å y).

Тогда f = (f *)* = [ z (x Å y)]* = z Ú(x ~ y).

 

Примеры использования теоремы Поста

1.Покажем, что система функций { f ₁ = x ₁ x ₂, f ₂ =0, f ₃ =1, f ₄ = = x ₁Å x ₂Å x ₃} полна в Р ₂. Составим табл. 2.23, которая называется критериальной

 

Таблица 2.23

	Т 0	Т 1	L	M	S
x 1 x 2	+	+	-	+	-
	+	-	+	+	-
	-	+	+	+	-
x 1Å x 2Å x 3	+	+	+	-	+

 

Таблица 2.24

x 1 x 2 x 3	x 1Å x 2Å x 3
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

 

Из табл. 2.24 видно, что какой бы класс мы ни взяли, всегда есть функция из данной системы, которая в этот класс не входит. Можно сформулировать следующее правило: для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце критериальной таблицы был хотя бы один «минус».

Отметим еще одно обстоятельство, касающееся приведенной системы. Какую бы функцию из этой системы мы ни удалили, система станет неполной, действительно, { f ₂, f ₃, f ₄}Ì L, { f ₁, f ₃, f ₄}Ì T ₁, { f ₁, f ₂, f ₄}Ì T ₀, { f ₁, f ₂, f ₃}Ì M.

2. Мы знаем, что система { x ₁| x ₂} полна в Р ₂. Какова для нее критериальная таблица? x ₁| x ₂= = x ₁ x ₂Å1 (табл.2.25).

 

Таблица 2.25

	Т 0	Т 1	L	M	S
x 1| x 2	-	-	-	-	-

3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из Р₂: {0, 1, x ₁ x ₂, x ₁Å x ₂} (табл.2.26).

 

Таблица 2.26

	Т 0	Т 1	L	M	S
	+	-	+	+	-
	-	+	+	+	-
x 1 x 2	+	+	-	+	-
x 1Å x 2	+	-	+	-	-

Согласно критериальной таблице, полной является и система {1, x ₁ x ₂, x ₁Å x ₂}. Константа 0 введена в эту систему для удобства, тогда мы можем записать полином Жегалкина в виде, где а равны 0, если члены х х ... х в полиноме отсутствуют.

4. Выясним, полна ли система . Составим критериальную таблицу, очевидно, . Чтобы показать, что , достаточно найти одну функцию и . Возьмем , удовлетворяющую требуемым условиям. Если f S \ T ₀, то f (0,..., 0) = 1, f (1,..., 1)=0, следовательно, f M, f T ₁. Рассмотрим функцию h = x ₁ x ₂ x ₂ x ₃ x ₁ x ₃=1, набор ее значений (11101000), h S \ T ₀, но h L. Следовательно, критериальная таблица имеет вид (табл. 2.27) и А – полная система функций.

Таблица 2.27

	Т 0	Т 1	L	M	S
L T 1	-	+	+	-	-
S \ T 0	-	-	-	+	-

 

Определение 2.15. Система функций { f ₁,..., f_s,...} называется базисом в Р ₂,если она полна в Р ₂, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций { x ₁& x ₂, 0, 1, x ₁ x ₂ x ₃} – базис.

 

ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

 

Элементарные функции алгебры логики

 

Обозначения: E ₂={0,1}; Е = E ₂´ E ₂´...´ E ₂ – прямое произведение n сомножителей; (x ,.., x_n)Î , | E ₂| – мощность E ₂, | E ₂|=2, тогда | Е |=2 ⁿ.

Определение 2.1. Функцией алгебры логики называется отображение Е E ₂, причем отображение всюду определено и функционально.

Так как множество Е конечно, то задать отображение Е Þ E ₂ означает задать множество наборов из Е и для каждого набора указать его образ в Е ₂.

 

Пример 2.1. Пусть n =2, тогда Е ={(0 0),(0 1),(1 0),(1 1)}, отображение Е Þ E ₂ задано, например, так: (0 0) Þ0; (0 1) Þ1; (1 0) Þ1; (1 1) Þ1.

Тем самым задана функция, для которой мы будем использовать стандартное обозначение f (x ₁, x ₂), записывая эту функцию в виде таблицы 2.1.

Таблица 2.1

x 1	x 2	f (x 1, x 2)

 

Здесь x ₁ и x ₂ обозначают названия столбцов, а f – символ, обозначающий отображение. Следует обратить внимание, что функции f (x ₁, x ₂) и f (y ₁, y ₂) задают одно и то же отображение и их таблицы отличаются только названиями столбцов.

 

Определение 2.2. Таблица, задающая функцию f (x ₁, x ₂,..., x_n), называется таблицей истинности для этой функции.

Рассмотрим функции одной переменной. Их будет всего 4, они задаются таблицами истинности 2.2–2.5.

 

Таблица 2.2

x	f 0(x)

Функция называется константой 0, записывается f ₀(x) 0.

 

Таблица 2.3

x	f 1(x)

Функция называется тождественной, записывается f ₁(x)= x.

 

Таблица 2.4

x	f 2(x)

Функция называется «не x» и записывается f ₂ (x)= .

 

Таблица 2.5

x	f 3(x)

 

Функция записывается f ₃(x) 1 и называется константой 1. Если стандартным расположением переменной x считать 0 в первой строке и 1 во второй, то функции f ₀, f ₁, f ₂, f ₃ определяются однозначно наборами значений: f ₀=(0,0), f ₁=(0,1), f ₂=(1,0) и f ₃=(1,1). Наборы значений функций составляют множество E ₂´ Е ₂, поэтому количество функций одной переменной равно | E ₂ E ₂|=4. Для удобства функции пронумерованы так, что двоичный код номера совпадает с набором значений функции.

Рассмотрим функции двух переменных f (x ₁, x ₂). Функции двух переменных определены на множестве Е ={(0 0),(0 1),(1 0),(1 1)}, эти наборы переменных из Е можно тоже рассматривать как двоичные коды чисел 0,1,2,3. Именно такой порядок расположения наборов (x ₁, x ₂) будем считать стандартным. Тогда функции f (x ₁, x ₂) определяются однозначно наборами значений (b ₁, b ₂, b ₃, b ₄), где каждое b_i Î E ₂, поэтому (b ₁, b ₂, b ₃, b ₄)Î Е . Следовательно, число функций двух переменных равно 2⁴=16, занумеруем их числами от 0 до 15 так, чтобы двоичный код номера совпадал с набором значений функции (табл.2.6).

Таблица 2.6

x 1 x 2

f 0

f 1

f 2

f 3

f 4

f 5

f 6

f 7

f 8

f 9

f 10

f 11

f 12

f 13

f 14

f 15

0 0 0 1 1 0 1 1

 

Некоторые из этих функций носят специальные названия и играют такую же роль, как элементарные функции в анализе, поэтому называются элементарными функциями алгебры логики. Перечислим их.

1) f ₁(x ₁, x ₂) = (x ₁& x ₂), читается «конъюнкция х ₁ и х ₂», иногда вместо знака & употребляют знак или вообще его опускают, пишут (х ₁ х ₂). (х ₁& х ₂) совпадает с обычным произведением х ₁ х ₂ и совпадает с min(x ₁, x ₂). Эту операцию называют также логическим умножением.

2) f ₆(x ₁, x ₂) = (x ₁Å x ₂) – сложение х ₁ и х ₂ по модулю два, иногда пишут (х ₁+ х ₂) _{mod 2}.

3) f ₇(x ₁, x ₂) = (x ₁Ú x ₂), читается «х ₁ дизъюнкция х ₂», она совпадает с max(x ₁, x ₂), ее называют логическим сложением.

4) f ₈(x ₁, x ₂) = (x ₁ x ₂), читается «х ₁ стрелка Пирса х ₂» и совпадает с отрицанием дизъюнкции, другие названия: функция Вебба, функция Даггера.

5) f ₉(x ₁, x ₂) = (x ₁~ x ₂), читается «х ₁ эквивалентно х ₂».

6) f ₁₃(x ₁, x ₂) =(x ₁ x ₂), читается «х ₁ импликация х ₂», иногда обозначается , т. е. х ₁ влечет х ₂.

7) f ₁₄(x ₁, x ₂) = (x ₁| x ₂), читается «х ₁ штрих Шеффера х ₂», она является отрицанием конъюнкции.

Cимволы ,&,Ú, ,~, ,Å,|, участвующие в обозначениях элементарных функций, называются логическими связками или просто связками. Переменные 0 и 1 называются логическими или булевыми переменными, причем 0 соответствует «лжи», а 1 – «истине», а функции алгебры логики называются еще и булевыми функциями.

Рассмотрим функцию f (x ₁... x_n), где (x ₁... x_n)Î Е , тогда число наборов (x ₁... x_n), где функция f (x ₁... x_n) должна быть задана, равно | Е |=2 ⁿ. Обозначим множество всех функций двузначной алгебры логики Р ₂. Обозначим через Р ₂(n) число функций, зависящих от n переменных. Очевидно, .

С ростом n число Р ₂(n) быстро растет: P ₂(1)=4, P ₂(2)=16, P ₂(3)=256, P ₂(4)=65536. При больших n табличный способ задания функций становится неприемлемым, используется формульное задание функций. Но прежде чем ввести понятие формулы, дадим определение существенной переменной.

 

Определение 2.3. Функция f (x ₁,..., x_{i –1}, x_i, x_{i +1},..., x_n) существенно зависит от х_i, если существуют такие значения a ₁,... a_{i –1}, a_{i +1},... a_n переменных x ₁,... x_{i –1}, x_{i +1},... x_n, что

f (a ₁,... a_{i –1}, 0, a_{i +1}... a_n)¹ f (a₁... a_{i –1}, 1, a_{i +1}... a_n). Тогда переменная х_i называется существенной переменной. В противном случае х_i называется фиктивной переменной.

 

Пример 2.2

Рассмотрим несколько функций двух переменных (табл.2.7).

 

Таблица 2.7

x 1	x 2	(x 1& x 2)	f 3	f 15

 

Покажем, что (х ₁& x ₂) существенно зависит от х ₁. Рассмотрим наборы (0,1) и (1,1), здесь a ₂=1, f (0, a ₂)=0 и не равно f (1, a ₂)=1. Покажем, что х ₂ – тоже существенная переменная. Рассмотрим наборы (1,0) и (1,1). Здесь a ₁=1, f (1,0)=0 и не равна f (1,1)=1. Для функции f ₃(x ₁, x ₂) покажем, что х ₂ – фиктивная переменная, т.е. надо показать, что не существует наборов (a ₁,0) и (a ₁,1) таких, что f ₃(a ₁,0) f ₃(a ₁,1). Пусть a ₁=0, т.е. рассмотрим наборы (0,0) и (0,1), f (0,0)= f (0,1)=0. Пусть a ₁=1, но f (1,0)= f (1,1)=1.

Для функции f ₁₅ x ₁ и x ₂ являются фиктивными переменными. x ₁–фиктивная переменная, так как существует набор (0, a ₂) и (1, a ₂), таких, что f (0, a ₂)¹ f (1, a ₂). Если a ₂=0, то f (0,0)= f (1,0)=1, если a ₂=1, тогда f (0,1)= f (1,1)=1. Аналогично доказывается, что – тоже фиктивная переменная.

Пусть х_i является фиктивной переменной для функции f (x ₁,..., x_i,..., x_n). Тогда ее можно удалить из таблицы истинности, вычеркнув все строки вида (a ₁,... a_{i– 1}, 1, a_{i +1},... a_n) или, наоборот, все строки вида (a ₁,..., a_{i– 1}, 0, a_{i +1},... a_n) и столбец для переменной х_i. При этом получим таблицу для некоторой функции g (x ₁,..., x_{i –1}, x_{i +1},... x_n). Будем говорить, что функция g (x ₁,... x_{i –1}, x_{i +1},... x_n) получена из функции f (x ₁,..., x _i,... x_n) путем удаления фиктивной переменной х_i или f получена из g путем введения фиктивной переменной х_i (табл.2.8).

Определение 2.4. Функции f ₁ и f ₂ называются равными, если f ₂ можно получить из f ₁ путем добавления или удаления фиктивной переменной.

 

Пример 2.3

Таблица 2.8