Замыкание и замкнутые классы

 

Определение 2.11. Пусть M Í Р ₂. Замыканием М называется множество всех функций из P ₂, которые можно выразить формулами над М. Замыкание М обозначается [ M ].

Определение 2.12. Множество функций М называется замкнутым классом, если [ M ]= M.

Пример 2.19

1) P ₂ – замкнутый класс.

2) Множество {1, x ₁Å x ₂} не является замкнутым классом. Его замыканием будет класс линейных функций: [{1, x ₁ Å x ₂}] = { f (x ₁,..., x_n) c ₀ Å c ₁ x ₁ Å... Å c_nx_n }. Действительно, по определению формулы над М, функция f (G ₁, x ₃), где f есть сумма по модулю 2, G ₁ – функция х ₁ Å х ₂, будет формулой над М: f (G ₁, x ₃) = (x ₁ Å x ₂) Å x ₃.

З амечание. В терминах замыкания и замкнутого класса можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному:

М – полная система, если [ M ] = P ₂.

3) A = { f (x ₁,..., x_n)| f (1, 1,..., 1) = 0} – незамкнутый класс. Возьмем формулу над этим множеством. Пусть f, g ₁,..., g_n Î A, т.е. f (1, 1,..., 1) = 0, g ₁(1, 1,..., 1) = 0, тогда f (g ₁,..., g_n) Î [ A ]. Посмотрим, принадлежит ли функция f (g ₁,..., g_n) множеству А. f (g ₁(1,..., 1), g ₂(1,..., 1),..., g_n (1,..., 1) = f (0,..., 0)), но f (0,..., 0) не обязано быть равным 0. Действительно, пусть g ₁(x ₁, x ₂) = x ₁ Å x ₂, g ₂(x) = x Î A. Возьмем g ₂(g ₁(x ₁, x ₂)) = x ₁ Å x ₂ Î [ A ], g ₂(g ₁(1, 1)) = 1 Å 1 = 0, следовательно, g ₂(g ₁(x ₁, x ₂)) Ï A, отсюда [ A ] ¹ A и А – незамкнутый класс.

 

Важнейшие замкнутые классы в Р₂

1) Т₀ - класс функций, сохраняющих константу 0

Т ₀ = { f (x ₁,..., x_n)| f (0,..., 0) = 0, n = 1, 2,...}. Покажем, что Т ₀ является собственным подмножеством Р ₂, т.е. Т ₀ ¹ Æ и Т ₀ Ì Р (не совпадает с Р ₂). Для этого достаточно привести примеры функций, входящих в Т ₀, и примеры функций из Р₂, не входящих в Т ₀: x ₁& x ₂, x ₁Ú x ₂, x Î Т ₀ и x ₁| x ₂, x ₁ x ₂, Ï Т ₀. Покажем далее, что [ Т ₀] = Т ₀. Вложение Т ₀ Í [ Т ₀] очевидно, так как по определению формулы любая функция из Т ₀ является формулой над Т ₀ и, следовательно, принадлежит [ Т ₀]. Покажем, что [ Т ₀]Í Т ₀. Для этого надо показать, что Ф = f (f ₁,..., f_m) Î

[ Т ₀], если все функции f, f ₁, f ₂, f ₃,..., f _m Î Т ₀. Надо заметить, что в формуле в качестве функции f ₁ могут быть взяты переменные, которые мы договорились считать тождественными функциями. Тождественная функция принадлежит классу Т ₀, поэтому достаточно показать, что Ф = f (f ₁,..., f_m) Î Т ₀. Для этого рассмотрим следующую функцию: Ф (0,..., 0) = f (f ₁(0,..., 0), f ₂(0,..., 0),...) = f (0,..., 0) = 0.

Число функций, зависящих от n переменных и принадлежащих Т ₀, будет равно

2) T₁ – класс функций, сохраняющих константу 1

T ₁ = { f (x ₁,...) | f (1, 1,...) = 1}; x ₁& x ₂, x ₁Ú x ₂, x Î T ₁, х ₁Å х ₂, x ₁ x ₂Ï T ₁, следовательно, Т ₁ – собственное подмножество Р ₂.

Покажем, что [ T ₁] Í T ₁, обратное включение следует из определения формулы и замыкания. Так как тождественная функция входит в Т ₁, можно рассмотреть Ф = f (f ₁,..., f_n) Î [ T ₁], где f, f ₁,..., f_n Î T ₁. Найдем Ф (1,..., 1) = f (f ₁(1,..., 1),..., f_n (1,..., 1)) = f (1,..., 1) = 1, следовательно, Ф = f (f ₁,..., f_n) Î T ₁, отсюда следует [ T ₁] = T ₁.

3) S – класс самодвойственных функций

S = { f (x ₁,...)| f * = f }; x, , x ₁Å x ₂Å x ₃Î S, x ₁& x ₂, x ₁Ú x ₂, x ₁Å x ₂Ï S, следовательно, S – собственное подмножество Р ₂. | S (n)| = . Покажем, что [ S ]Í S. Ф = f (f ₁,..., f_n) Î [ S ], если f, f ₁,..., f_n Î S, а также, что Ф Î S. По принципу двойственности, Ф * = f *(f ₁*,..., f_n *) = f (f ₁,..., f_n) = Ф, отсюда S – замкнутый класс.

4) L – класс линейных функций

L = { f (x ₁,...)| f = c ₀Å c ₁ x ₁Å...Å c_nx_n }; очевидно, L ¹ Æ, с другой стороны L ¹ P ₂, так как x ₁& x ₂ Ï L. Заметим, что тождественная функция принадлежит L и | L (n)| = 2 ^{n +1}. Покажем, что [ L ] Í L. Рассмотрим Ф = f (f ₁,..., f_m), где f, f ₁,..., f_n Î L. Тогда Ф = а ₀ Å а ₁(с ₁₀ Å с ₁₁ х ₁ Å...Å c _{1 n}x_{n 1}) Å a ₂(c ₂₀ Å c ₂₁ x ₁ Å c ₂₂ x ₂Å...Å c _{2 n}x_{n 2})Å...Å a_n (c_{m 0} Å c_{m 1}x₁ Å... Å c_mnx_nm) = в ₀ Å в ₁ х ₁ Å...Å в_nх_n Þ Ф Î L.

5) М – класс монотонных функций

Определение 2.13. Набор = (a ₁,..., a_n) предшествует набору = (b ₁,..., b_n) и обозначается , если для 1£ i £ n a_i £ b_i, например: = (0010), = (0110), тогда . Не любые два набора находятся в отношении предшествования, например, наборы (0110) и (1010) в таком отношении не находятся. Отношение предшествования () является отношением порядка на множестве наборов длины n, множество таких наборов будет частично упорядоченным множеством по отношению к операции.

Определение 2.14. Функция f (x ₁,..., x_n) называется монотонной, если для двух наборов и , таких что , выполняется f () f (). Функции 0, 1, x, x ₁& x ₂, x ₁ Ú x ₂ Î M, x ₁¯ x ₂, x ₁ Å x ₂, x ₁~ x ₂ Ï M.

Для числа монотонных функций, зависящих от n переменных, существуют оценки сверху и снизу, но точное число сосчитать не удается. Покажем, что М – замкнутый класс. Рассмотрим функцию Ф Î[ M ], Ф = f (f ₁,..., f_m), где f, f ₁,..., f_m Î M, причем можем считать, что все они зависят от n переменных. Пусть набор = (a ₁,..., a_n), = =(b ₁,..., b_n). Рассмотрим Ф (a ₁,..., a_n) = f (f ₁(a ₁,..., a_n), …, f_m (a ₁,..., a_n)) и Ф (b ₁,..., b_n) = f (f ₁(b ₁,..., b_n),..., f_m (b ₁,..., b_n)). Здесь f ₁() f ₁(),..., f_m () f_m (), тогда набор (f ₁(),..., f_m ()) (f ₁(),..., f_m ()), но тогда Ф () Ф (), так как f Î M, отсюда Ф = f (f ₁,...,) – монотонная функция.

Классы T ₀, T ₁, L, S, M пересекаются, но не совпадают, что видно из табл. 2.22, где «+» означает, что функция принадлежит данному классу и «-» – не принадлежит.

Таблица 2.22

	T 0	T 1	L	S	M
x	+	+	+	+	+
	-	-	+	+	-
	+	-	+	-	+
	-	+	+	-	+
x 1 x 2	+	+	-	-	+

A ={ x, , 0, 1, x ₁ x ₂) не является полной системой функций, так как всегда есть функции из Р ₂, не входящие в эти классы.