П. 2 Правила дифференцирования

Теорема 1. Пусть и - дифференцируемые функции в точке . Тогда:

1. ;

2. ;

 

_3. , причем в некоторой окрестности точки .

 

Доказательство:

 

Докажем третье утверждение данной теоремы. Для этого рассмотрим приращение:

_.

 

Найдем предел:

. Таким образом, . ■

Теорема 2. Пусть функция дифференцируема в точке и биективна (т.е. наша функция имеет обратную функцию ). Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

 

Рассмотрим приращение функции , т.е. . Тогда .

Так как функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, следовательно, малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции . ■

 

Замечание. Геометрический смысл производной обратной функции (рисунок)

Так как , где - угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , то .

Замечание. Если растет быстрее в раз, то отстает на раз.

 

Теорема 3. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в точке , которая является образом точки . Тогда функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

По условию функция дифференцируема в точке , т.е. . Тогда, используя дифференцируемость функции в точке , получим . Подставим в : .

Найдем предел . ■

 

Определение 1. Пусть . Говорят, что линия на плоскости задана параметрически, если ее точки имеют координаты . Таким образом, параметрическое задание данной линии равносильно ее явному заданию .

 

Теорема 4. Пусть функции дифференцируемы в точке , тогда функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

 

Рассмотрим ,

. По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, непрерывна в этой точке, значит, бесконечно малому соответствует бесконечно малое .

Таким образом, . ■

Дифференцирование функций, заданных неявно

Определение 2. Пусть для каждой точки и плоскости существует единственное число . Тогда говорят, что на плоскости задана функция двух переменных и .

Определение 3. Придавая постоянные значения числу z (), получим уравнения, задающие линии в пространстве. Тогда функция , заданная уравнением , называется заданной неявно.

Для того, чтобы продифференцировать неявно заданную функцию , необходимо продифференцировать обе части уравнения .
Пример. Если , то уравнение задает окружности с центром на оси . Найдем производную функции , заданной уравнением : .

Формулы дифференцирования

 

1)

 

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как

, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■

 

2) .

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как , то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■

3) .

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как , то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 3 из второго замечательного предела. ■

 

4) .

 

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как

, то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■

 

5) .

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Так как

, то

. Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■

 

6) .

 

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим

. ■

 

7) .

 

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим

 

■

 

8) .

Доказательство:

 

Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим . ■

9) .

10) .

11) .

 

Логарифмическое дифференцирование

 

Логарифмическое дифференцирование применяется для вычисления производной дробных (целых) выражений, имеющих много скобок и выражений вида . Для начала необходимо прологарифмировать выражение, затем взять производную от обеих частей, учитывая, что - функция.

 

Пример. Вычислим производную функции :

,

.

 

Пример. Вычислим производную функции :

,

,

.

 

П. 3 Дифференциал функции

 

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , .

Определение 1. Дифференциалом функции называется главная часть приращения и обозначается. . Дифференциалом аргумента (вне зависимости от переменной) называют его приращение . Таким образом, дифференциал функции равен . Тогда производная функции равна .