Геометрический смысл дифференциала

(рисунок)

Так как , то дифференциал функции равен . Таким образом, .

 

Физический смысл дифференциала

 

Пусть тело движется по закону . Тогда дифференциалом перемещения является то приращение расстояния за промежуток времени , пройденное со скоростью в промежутке . Таким образом, .

 

Инвариантность дифференциала функции

 

Если функция является сложной, то ее дифференциал равен . Тогда или .

Замечание. С дифференциалами обращаются также как и с производными, поэтому для дифференциала справедливы те же правила дифференцирования. На практике дифференциал применяют для приближенных вычислений:

, , т.е. .

Пример. Вычислим . Для этого рассмотрим функцию в точке . Приращение , тогда , , .

 

п. 5 Производные и дифференциалы высших порядков

 

Определение 1. Пусть функция имеет производную порядка. Тогда производной -го порядка называется .

 

Пример. .

Для нахождения производной произведения -го порядка пользуются аналогом бинома Ньютона:

; .

 

Заметим, что , тогда .

Определение 2. Дифференциалом -го порядка называется

.

В частности,

.

 

П. 6 Свойства дифференцируемых функций

 

Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции локальным максимумом (минимумом), если найдется -окрестность точки такая, что . Точки локального минимума и максимума называются точками локального экстремума.

 

Теорема 1. Теорема Ферма

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем - точка локального экстремума функции . Тогда .

Доказательство:

Для определенности пусть - точка локального экстремума, т.е. . Рассмотрим производную .

Так как , то получим, что . ■

 

Замечание. Теорема Ферма является необходимым условием экстремума. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

 

Пример. Рассмотрим функцию . Производная функции равна нулю при , но эта точка не является точкой экстремума функции.

Пример. Для квадратичной функции абсцисса вершины параболы является точкой экстремума, а ордината - экстремумом функции. Исходя из этого, найдем координаты вершины параболы. Так как и , , то .

 

Геометрический смысл теоремы Ферма

 

Если функция на отрезке имеет локальный экстремум, то касательная, проведенная к графику функции в этой точке, параллельна оси .

Теорема 2. Теорема Ролля

Пусть непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем .Тогда найдется точка .

Доказательство:

Так как функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наименьшего значений (ТВГ, ТНГ).

Пусть , а . Тогда возможны два случая:

1. Если , то . Тогда .

2. Если , то пусть . Это значит, что на интервале , по крайней мере, в одной точке функция будет иметь экстремум, а по теореме Ферма . ■

Замечание. Все условия данной теоремы существенны. (рисунки – 3 шт.).

 

Теорема 2. Теорема Лагранжа

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда найдется точка .

Доказательство:

 

Введем вспомогательную функцию так, чтобы функция удовлетворяла теореме Ролля, т.е. :

, ,

.

Тогда ,

, . Таким образом, ■

Замечание. Геометрический смысл теоремы:

$ точка x, в которой касательная к графику функции имеет такой же наклон, как и хорда, соединяющая точки и . (Рисунок)

.

Замечание. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 1. Формула конечного приращения

Если то

где , или .

Следствие 2. Критерий монотонности

Для того, чтобы функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция не убывает на отрезке . Тогда, по определению, имеем . Возьмем любой и придадим ему положительное приращение . Получим .

Достаточность. Пусть . Возьмем точки такие, что и применим теорему Лагранжа: , где . Тогда или . Таким образом, получили определение неубывающей функции. ■

 

Теорема 3. Теорема Коши

Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем . Тогда такая, что .

Доказательство:

Докажем сначала, что . Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, значит, что . Отсюда .

Введем вспомогательную функцию так, чтобы она удовлетворяла условиям теоремы Ролля.

.

Тогда . Отсюда

.

Таким образом,

или . ■

Замечание. Теорема Коши является наиболее общей теоремой, т.е. теорема Ролля и Лагранжа являются следствиями из теоремы Коши.

 

Теорема 4. Теорема Лопиталя

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки , причем , и . Тогда .

Доказательство:

 

Рассмотрим окрестность . (Рисунок) Выберем последовательность . Тогда, начиная с некоторого номера N, члены последовательности попадают в эту окрестность. Тогда, так как и , то функции и в точке имеют устранимый разрыв. Доопределим эти функции до непрерывности: , . Тогда на отрезке данные функции непрерывны и дифференцируемы на интервале . Таким образом, выполняются все условия теоремы Коши. Это значит, что

, где , или .

Перейдем к пределу при : ,

. ■

 

Замечание. Если не существует, то из этого не следует, что не существует .

 

Пример. Вычислим

, но не существует.

Пример. Вычислим . Применяя правило Лопиталя, получим .

Замечание. Теорема Лопиталя сформулирована для неопределенности типа и имеет место для неопределенностей типа

 

Пример. Вычислим . Для этого прологарифмируем функцию . Тогда . Следовательно, .

 

П. 7 Формула Тейлора

 

Можно заметить, что чем больше производных совпадают у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют (приближают) друг друга в окрестности этой точки. Нас будет интересовать приближение функции в окрестности одной точки с помощью многочленов. Рассмотрим многочлен степени : . Заметим, что . Так как , то

. Аналогично получим ,

.

 

Определение 1. Функция называется гладкой порядка в точке на интервале , если она имеет все производные порядка включительно, причем эти производные являются непрерывными функциями на отрезке . Этот факт обозначается .

Определение 2. Выражение вида

называется формулой Тейлора для функции в окрестности точки .

Теорема 1. Если функция является гладкой порядка в некоторой окрестности точки , то имеет место формула Тейлора для данной функции .

Доказательство:

 

Пусть имеет место формула Тейлора для функции : , причем

, , . Обозначим

.

Используя правило Лопиталя, покажем, что . Так как , …, , ,

тогда =

=…= . ■

 

Замечание. В формуле Тейлора первое слагаемое называют главной частью функции, а второе – оста т очный член функции .

Если , то формулу Тейлора для функции называют формулой Маклорена.

Остаточный член в виде называют остаточным членом в форме Пеано.

Формула Тейлора используется для того, чтобы приблизить функцию многочленом -й степени в некоторой окрестности точки :

Пример. Разложим многочлен по степеням . Для этого найдем коэффициенты разложения: , ,

, . Тогда

.