Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».

1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (x ₀) = y ₀.

1. , . 2. , .

3. , y (0) = 5. 4. , y (–2) = 5.

5. , y (0) = 2. 6. , y (1) = e.

7. , y (3) = 1. 8. , y (0) = 2.

9. , y (1) = 0. 10. , y (0) = 3.

2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (x ₀) = y ₀ и

1. , y (0) = –2, .

2. , y (0) = 3, .

3. , y (0) = –3, .

4. , y (0) = –1, .

5. , y (0) = 1, .

6. , y (0) = 2, .

7. , y (0) = 2, .

8. , y (0) = 3, .

9. , y (0) = 0, .

10. , y (0) = 0, .

3. Написать три первых члена степенного ряда, найти его область абсолютной сходимости.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. .

4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. .

Основные теоретические сведения.

Дифференциальные уравнения

1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y (x) и ее производные какого-либо порядка, называется дифференциальным уравнением.

2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.

3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида или в дифференциалах . Если эти равенства можно разрешить относительно производной, то их записывают в виде или .

4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывную производную на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

5. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = y ₀ при x = x ₀.

6. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x; С), содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях (x ₀; y ₀) уравнение y ₀ = j(x ₀; С) должно быть разрешимо относительно С так, что С = y(x ₀; y ₀); 2) при всех значениях постоянной С = y(x ₀; y ₀) функция y = j(x; y(x ₀; y ₀)) должна удовлетворять дифференциальному уравнению.

7. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированном значении постоянной С называется частным решением дифференциального уравнения.

8. Уравнение вида или называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приводятся к виду или путем разделения переменных x и y и затем почленно интегрируются.

9. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением. Используется замена: или , где – новая неизвестная функция, тогда . Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, для которого находят общее решение. Записывают общее решение исходного уравнения по формуле .

10. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением. Используется метод Бернулли: , где , – новые неизвестные функции, тогда . Получаем: или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получаем Первое уравнение – ДУ с разделяющимися переменными, находим его частное решение при С = 0. Найденное частное решение подставляем во второе уравнение, являющееся тоже ДУ с разделяющимися переменными и находим его общее решение. Записываем общее решение исходного уравнения по формуле .

11. Уравнение вида , где называется дифференциальным уравнением Бернулли. Используется метод Бернулли: .

12. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида . Если уравнение можно разрешить относительно , то его записывают в виде .

13. Решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывные производные , на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

14. Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y ₀, при x = x ₀.

15. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x; С ₁; С ₂), содержащая две произвольные постоянные С ₁, С ₂ и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях система уравнений должна быть разрешима относительно постоянных С ₁, С ₂ так, что 2) при всех значениях этих постоянных С ₁, С ₂ функция y = j(x; C ₁; C ₂) обращает дифференциальное уравнение в верное числовое равенство.

16. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированных значениях постоянных С ₁, С ₂ называется частным решением дифференциального уравнения.

17. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка:

а) решается повторным интегрированием.

б) , явно не содержащее искомой функции . Используется замена: , где – новая неизвестная функция, тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

в) , явно не содержащее независимой переменной . Замена: , где , тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

18. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида . Составляется характеристическое уравнение .

Если , то и общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Если , то и .

Если , то и .

19. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида называется уравнение вида . Его общее решение ищется в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , а – какое-либо частное решение исходного уравнения.

Если , где a – некоторое число, P_n (x) – многочлен степени n, то , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, – число, равное кратности a как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .

Если , где a, b – некоторые числа, P_n (x), Q_m (x) – многочлены степени n и m соответственно, то , где – многочлены степени с неопределенными коэффициентами, , – число, равное кратности как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .

Ряды

Числовые ряды

Основные понятия

1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел а ₁, а ₂, …, а_n. Числовым рядом называется сумма вида .

2. Если существует конечный предел частичной суммы , то соответствующий числовой ряд называется сходящимся и его сумма равна S. В противном случае числовой ряд называется расходящимся.

3. Основные свойства сходящихся числовых рядов:

а) Необходимый признак сходимости: если числовой ряд сходится, то .

б) Достаточное условие расходимости: если , то числовой ряд расходится.

в) Если все члены сходящегося числового ряда умножить или разделить на число , то получится сходящийся ряд .

г) Если два сходящихся числовых ряда и почленно сложить (или вычесть), то получатся сходящиеся ряды (или ).

Положительные числовые ряды

4. Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда и . Если, начиная с некоторого номера n, выполняется условие , то:

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

5. Второй признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда и . Если существует , то оба ряда ведут себя одинаково.

6. При использовании признаков сравнения чаще всего используют эталонные ряды:

1) Геометрический ряд a + aq + aq ² + … + aq^{n – 1} + … = сходится при и расходится при .

2) Ряд Дирихле сходится при и расходится при .

3) Частный случай ряда Дирихле при p = 1 – гармонический ряд расходится.

7. Признак Даламбера. Пусть дан положительный ряд и существует предел . Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

8. Радикальный признак Коши. Пусть дан положительный ряд и существует предел . Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

9. Интегральный признак Коши. Пусть дан положительный ряд . Если существует непрерывная, невозрастающая и неотрицательная функция на такая, что , то ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково.