Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

1) Определители второго и третьего порядков. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера. Системы декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами и их свойства. Проекция вектора на ось, свойства проекций. Понятие о базисе, разложение вектора по базису. Длина и направляющие косинусы вектора. Операции над векторами, заданными в декартовых координатах. Скалярное, векторное и смешанное произведение, их свойства и вычисление в координатной форме.

2) Основные задачи на плоскости. Уравнение линии на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Угол между двумя прямыми, взаимное расположение двух прямых, расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Их канонические уравнения и основные свойства.

3) Понятие об уравнении поверхности и уравнения линии и точки в пространстве. Основные уравнения плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости и до прямой.

Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.

1) Постоянные и переменные величины. Множества, обозначения и символы теории множеств, числовые множества. Функции и способы ее задания. Простейшие, сложные и элементарные функции.

2) Предел Функции в точке и в бесконечности, односторонние пределы. Бесконечно малые, бесконечно большие и ограниченные функции; их основные свойства. Теоремы о функциях, имеющих предел. Неопределенности различных видов. Первый замечательный предел. Основные понятия о числовой последовательности и ее пределе. Второй замечательный предел. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Формулировки основных свойств функций, непрерывных на отрезке. Классификация точек разрыва.

3) Определение производной. Геометрический и механический смысл производной, уравнение касательной к плоскости кривой. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Производная сложной функции. Определение и дифференцирование обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Формулы и правила дифференцирования элементарных функций.

4) Дифференциал функции, его геометрический смысл и свойства. Параметрическое задание функции; производная функции, заданной параметрическими уравнениями. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, правило Лопиталя.

5) Определение монотонных функций, достаточные признаки монотонности. Точки экстремума, экстремум, необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба и асимптоты графика функции. Исследование функций и построение их графиков.

Функции нескольких переменных.

Функции двух и трех переменных, основные понятия и обозначения. Частные приращения и частные производные. Полное приращение и полный дифференциал. Частные производные высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.

Интегральное исчисление.

1) Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование, интегрированпие6 заменой переменной, интегрирование по частям. Специальные приемы интегрирования некоторых тригонометрических выражений и функций, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование простейших видов иррациональностей. Понятие о «неберущихся» интегралах и неэлементарных функциях.

2) Определение и основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом, теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку. Интеграл Пауссона.

3) Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения и длин дуг плоских кривых.

Дифференциальные уравнения.

1) Понятие о дифференциальном уравнении, его порядке и решении. Дифференциальные уравнения первого порядка: понятие решения; постановка задачи Коши, ее геометрический и механический смысл; понятия общего и частного решений. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и линейных уравнений первого порядка.

2) Дифференциальные уравнения второго порядка: понятие решения; постановка задачи Коши, ее геометрический и механический смысл; понятия общего и частного решений. Общие свойства решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Понятие о комплексных числах и комплексных функциях действительного аргумента, формула Эйлера. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью и их решение методом неопределенных коэффициентов.

Ряды.

1) Числовые ряды, основные понятия. Исследование сходимости геометрического и гармонического рядов. Необходимые условия сходимости. Основные свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: первый признак сравнения, признак Даламбера. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница, оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

2) Понятие о функциональном ряде. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства сходящихся степенных рядов. Разложение некоторых элементарных функций в степенной ряд Маклорена. Условия сходимости ряда Маклорена к разлагаемой функции. Применение рядов Маклорена к приближенным вычислениям значений функций и к вычислению определенных интегралов.

Теория вероятностей.

1) Определение события. Случайные, достоверные и невозможные события. Основные операции над событиями. Основные свойства операций над событиями. Определение поля событий. Определение совместимых, несовместимых событий. Определение полной группы событий. Понятие вероятности события. Три аксиомы теории вероятностей. Принцип сложения вероятностей несовместимых событий. Условная вероятность одного случайного события относительного другого события. Принцип умножения вероятностей несовместимых событий. Три следствия из аксиом теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. Размещения, перестановки и сочетания. Формулы для их вычисления. Теорема сложения вероятностей совместимых событий. Зависимые и независимые события. Правило умножения вероятностей независимых событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2) Определение дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Способы задания дискретной случайной величины. Геометрический закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение вероятностей дискретной случайной величины. Формула Бернулли. Распределение Пуассона дискретной случайной величины. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, теорема Пуассона. Определение математического ожидания дискретной случайной величины. Основные свойства математического ожидания. Формула для вычисления. Определение дисперсии дискретной случайной величины. Основные свойства дисперсии. Формула для вычисления. Определение среднего квадратического отклонения.

3) Непрерывные случайные величины. Определение интегральной функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Основные свойства. Определение дифференциальной функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Основные свойства. Определение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения непрерывной случайной величины. Закон равномерного распределения непрерывной случайной величины на отрезке. Показательное распределение непрерывной случайной величины. Нормальный закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Закон больших чисел.

8. Рекомендуемая литература.

1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение, 1995. – 464 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высшая школа, 1997. – 400 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1997. – 479 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч. 1. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с.; Ч. II. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – 6-е изд. – М.: Наука, 1986. – 576 с.

6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1977. – 352 с.

 

Часть 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

Самостоятельная работа над учебным материалом является составной частью обучения студента дневной формы и основной формой обучения студента-заочника. Она складывается из чтения учебника или конспекта лекций, решения задач, самопроверки и выполнения контрольных работ или типовых расчетов. Кроме этого, студент может обращаться с вопросами к преподавателю для получения письменной или устной консультации.

Полезно знать и применять на практике следующие основные принципы организации самостоятельной работы по ее отдельным видам.

Чтение учебника.

1) Изучая материалы по учебнику или конспекту, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые по их простоте пропущены в первоисточнике), воспроизводя имеющиеся чертежи.

2) Особое внимание следует обращать на определение основных понятий и формулировку теорем. Следует подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

Формулировка каждой теоремы состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каждом месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем.

3) Рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы и уравнения на отдельные листы. На полях их следует отмечать вопросы, выделенные для письменной или устной консультации с преподавателем. Опыт показывает, что такие листы помогают не только запомнить основные положения курса, но и могут служить постоянным индивидуальным справочником для студента.

Решение задач.

1) Чтение учебника или конспекта должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. Полезно до начала вычислений составить краткий плен решения. Решения задач и примеров следует излагать подробно, обосновывать каждый этап решения. Исходя из теоретических положений курса. Вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа и т.п. Чертежи нужно выполнять аккуратно в соответствии с данными условиями и указанием масштаба.

2) Решение каждого задания должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретными физическими или геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

3) Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении. Однако здесь следует предостеречь от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается студентом как признак хорошего усвоения теории. Правильное решение задачи часто получается в результате применения механически заученных формул и указаний по их использованию без понимания сущности. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории.

Самопроверка.

1) После изучения определенной темы по учебнику или конспекту и решения достаточного количества соответствующих задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя себя каждый раз по первоисточнику.

В случае неудовлетворительного результата надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника и конспекта, порешать задачи.

2) Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

Консультации.

1) Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), он может обратиться к преподавателю для получения от него указаний в виде письменной или устной консультации.

2) В своих запросах студент должен точно указывать, в чем он испытывает затруднения. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, в доказательстве теоремы или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания, страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения и привести свой предполагаемый план решения.

3) За консультацией следует обращаться и в случаях, если возникают сомнения в правильности ответов для самопроверки или ответов решаемых задач.

Контрольные работы.

1) В процессе изучения математики студент должен выполнить ряд контрольных работ. Рецензии преподавателя на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него проблемы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для консультации с преподавателем.

2) Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил эти требования.

3) Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается кафедрой в соответствии с распределением по семестрам учебного материала и сообщается студентам дополнительно.