Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Образец решения контрольной работы № 4.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Задание 1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 0. Решение. Общее решение будем искать методом Бернулли: , где , – две новые неизвестные функции, тогда . Подставляя в исходное уравнение, получаем или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получим Найдем частное решение уравнения (I) при С 1 = 0, которое является ДУ с разделяющимися переменными. Для этого в этом уравнении разделим переменные x и y: или . Проинтегрировав обе части, получим или (при С 1= 0) или – частное решение уравнения (I). Подставляя полученную функцию v в уравнение (II), получаем тоже ДУ с разделяющимися переменными: , для которого найдем его общее решение. Разделяем переменные: или . Интегрируем обе части: или – общее решение уравнения . Таким образом – общее решение исходного уравнения. Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальному условию y (0) = 0 подставим в найденное общее решение x = 0 и y = 0 и найдем постоянную С: или , т. е. С = –1. Таким образом, – частное решение исходного уравнения при y (0) = 0. Ответ: – общее решение; – частное решение. Задание 2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (x 0) = y 0 и 1) , y (0) = –1, ; 2) , y (0) = 1, ; 3) , y (0) = 2, . Решение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида будем искать в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, а – некоторое частное решение исходного уравнения. 1) Найдем общее решение соответствующего линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два равных корня , значит . Найдем частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида , причем n = 1 и a = 0 – не корень характеристического уравнения. Поэтому частное решение , где А и В – неопределенные коэффициенты. Тогда и . Подставив , , в исходное уравнение, получим –2 А + Ax + B = x – 4 или Ax + (–2 А + B) = x – 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений Отсюда A = 1, B = –2. Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения. Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y (0) = –1, найдем . Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Отсюда С 1 = С 2 = 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид: . 2) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим характеристическое уравнение , дискриминант , имеет два комплексных корня , . Следовательно, . Найдем частное решение исходного уравнения. Его правая часть есть формула вида , причем n = m = 0, a = 0, b = 3. Так как числа – не корни характеристического уравнения (r = 0), то частное решение имеет вид: , где А и В – неопределенные коэффициенты, . Найдем и . Подставив , , в исходное уравнение, получим или . Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в обеих частях, получаем систему уравнений Отсюда A = 1, B = –3. Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения. Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y (0) = 1, вычислим . Подставляя начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Следовательно, С 1 = 0, С 2 = 3. Таким образом, – искомое частное решение. 3) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет два различных корня и , значит . Найдем частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида , причем n = 0, а a = 1 – корень характеристического уравнения кратности 1 (r = 1). Поэтому частное решение , где А – неопределенный коэффициент. Тогда и . Подставим , , в исходное уравнение и получим . Сократив оби части равенства на и приведя подобные, получим . Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения. Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y (0) = 2, сначала найдем . Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Отсюда С 1 = С 2 = 1. Итак, частное решение исходного уравнения имеет вид . Ответ: 1) ; 2) ; 3) . Задание 3. Написать три первых члена степенного ряда , найти его область абсолютной сходимости. Решение. Запишем три первых члена ряда. При n = 1 получаем первый член ряда: , при n = 2 – второй член: и при n = 3 – третий член ряда: . Для данного ряда имеем а = –2, , . Найдем радиус сходимости . Тогда интервал абсолютной сходимости ряда по формуле (a – R; a + R) есть (–4; 0). Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. При x = –4 получаем числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница, т. к. выполняются оба условия признака: 1) и 2) члены ряда убывают по абсолютной величине При x = 0 имеем числовой знакоположительный ряд . Это гармонический ряд, который расходится. Таким образом, область абсолютной сходимости исходного ряда имеет вид [–4; 0). Ответ: , , ; [–4; 0). Задание 4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд. Решение. Для разложения подынтегральной функции в степенной ряд воспользуемся формулой таблицы основных разложений. Заменив в ней x на x 2, получим: для любого . Так как отрезок интегрирования [0; 0,5] целиком содержится внутри области сходимости ряда, то на основании свойства о почленном интегрировании степенных рядов получим Получили числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница: 1) члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине: и 2) предел его общего члена при равен нулю: . Так как | a 2| = 0,000372 < 0,001, то приближенное значение суммы S полученного ряда будет равно: S» S 1 = a 1, так как по следствию из признака Лейбница погрешность вычисления r 2 = | S – S 1| < | a 2| < 0,001. Таким образом, . Ответ:» 0,042.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-12; просмотров: 289; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.152.146 (0.007 с.) |