Контрольная работа № 2. «введение в анализ. Дифференциальное исчисление».

1. Найти пределы функций.

1. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

2. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

3. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

4. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

5. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

6. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

7. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

8. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

9. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

10. 1) при: а) ; б) ; в) ;

2) ; 3) .

2. Найти производные заданных функций.

1. 1) ; 2) ;
3) .

2. 1) ; 2) ;

3) .

3. 1) ; 2) ;

3) .

4. 1) ; 2) ;

3) .

5. 1) ; 2) ;

3) .

6. 1) ; 2) ;

3) .

7. 1) ; 2) ;

3) .

8. 1) ; 2) ;

3) .

9. 1) ; 2) ;

3) .

10. 1) ; 2) ;

3) .

3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

4. Доказать, что функция z = f (x; y) удовлетворяет данному уравнению.

1. , если .

2. , если .

3. , если .

4. , если .

5. , если .

6. , если .

7. , если .

8. , если .

9. , если .

10. , если .

Основные теоретические сведения.

Теория пределов

Основные понятия

1. Постоянное число l есть предел функции y = f (х): или , если для любого сколь угодно малого числа e > 0 существует число d > 0, зависящее от e такое, что из выполнения неравенства следует неравенство .

2. Если существует и x < a, то он называется пределом слева: . Аналогично, если существует и x > a, то он называется пределом справа: . Эти пределы называются односторонними пределами.

3. Функция a(x) называется бесконечно малой функцией при х → а, если . Аналогично, функция b(х) называется бесконечно большой при х → а, если .

4. Если a(x) – бесконечно малая функцией при х → а, то – бесконечно большая функция при х → а; если b(x) – бесконечно большая функцией при х → а, то – бесконечно малая функция при х → а.

Основные теоремы о действиях над функциями,
имеющими конечный предел

5. Пусть , , где l ₁, l ₂ – конечные, тогда:

1) ;

2) ;

3) при ;

4) ;

5) Если n – натуральное число, то ;

6) Если n – натуральное число, то ;

7) Правило замены переменной. Пусть требуется найти предел сложной функции y = f (j(x)) при x → a. Тогда если существует и существует , то справедлива формула .

Важные исключения из теоремы

6) Если и , то частное при x → a называется неопределенностью вида .

7) Если и , то разность f (x) – g (x) при x → a называется неопределенностью вида (¥ – ¥), а частное при x → a называется неопределенностью вида .

8) Если и , то произведение f (x)× g (x) при x → a называется неопределенностью вида (0×¥).

Существуют и другие виды неопределенностей.

Замечательные пределы

9) Первый замечательный предел: .

10) Основные следствия из первого замечательного предела:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) .

11) Второй замечательный предел: .

12) Основные следствия из второго замечательного предела:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) .

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производной функции в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции в точке x ₀ к приращению аргумента D x, когда , т. е. .

Таблица производных

2. . 3. .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. .

Основные правила дифференцирования

17. . 18. .

19. . 20. .

21. .

Геометрический смысл производной

22. Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту (т. е. тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке (рис. 7). Уравнение касательной: . Уравнение нормали:

 

Рис. 7

Механический смысл производной

23. Производная от функции в точке численно равна скорости изменения функции в момент .

24. Если функция задана параметрически уравнениями то производная вычисляется по формуле: . Вторая производная находится по формуле: .

25. Если функция задана неявно уравнением , то для нахождения ее производной дифференцируют обе части этого уравнения, считая сложной функцией от и полученное уравнение разрешают относительно .

Применение производной

26. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция возрастает; если , то функция убывает.

27. Если функция непрерывна в точке и в левой ее окрестности , а в правой , то в точке функция имеет максимум; если в левой окрестности , а в правой , то в точке функция имеет минимум.

28. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция вогнута; если , то функция выпукла.

29. Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка – точка перегиба.

30. Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке нужно:

а) найти критические точки – точки, в которых производная функции , не существует или равна бесконечности;

б) найти значения функции в критических точках, принадлежащие отрезку и на концах отрезка;

в) выбрать среди полученных чисел наибольшее или наименьшее.

31. Для исследования функции и построения ее графика пользуются следующей схемой:

а) определяется область определения функции, находятся точки разрыва, определяется их характер, находятся вертикальные асимптоты, если они есть;

б) проверяется четность, нечетность, периодичность графика, поведение его при (или на границах области определения, если она ограничена); определяется наличие невертикальных асимптот вида , для чего числа k и b находятся по формулам: , , если оба эти предела существуют и конечны;

в) находится производная , определяются интервалы возрастания , убывания и критические точки ( или не существует) функции, находятся экстремумы;

г) находится вторая производная , определяются интервалы выпуклости вверх , выпуклости вниз и точки перегиба графика;

д) если необходимо, находятся дополнительные точки.

Сведя всю полученную информацию в таблицу, строят график функции .