Контрольная работа № 1. «Аналитическая геометрия и векторная алгебра».

1. Даны вершины A (x ₁; y ₁), B (x ₂; y ₂), C (x ₃; y ₃) треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А (в радианах). Сделать чертеж.

1. A (1; 1), B (7; 4), C (4; 5). 2. A (1; 1), B (–5; 4), C (–2; 5).

3. A (–1; 1), B (5; 4), C (2; 5). 4. A (–1; 1), B (–7; 4), C (–4; 5).

5. A (1; –1), B (7; 2), C (4; 5). 6. A (1; –1), B (–5; 2), C (–2; 3).

7. A (–1; –1), B (5; 2), C (2; 3). 8. A (–1; –1), B (–7; 2), C (–4; 3).

9. A (0; 1), B (6; 4), C (3; 5). 10. A (1; 0), B (7; 3), C (4; 4).

2. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняются следующее условие:

1) расстояние ее до точки F (–1; –2) равно расстоянию от прямой x = –3;

2) отношение расстояний до точки F (7; 0) и прямой x = 1 равно ;

3) отношение расстояний до точки F (2; 0) и прямой x = 3 равно ;

4) расстояние ее до точки F (3; 3) равно расстоянию от прямой x = –2;

5) отношение расстояний до точки F (2; 0) и прямой равно ;

6) отношение расстояний до точки F (–1; 0) и прямой x = –9 равно ;

7) расстояние ее до точки F (–3; 2) равно расстоянию от прямой x = 2;

8) отношение расстояний до точки F (3; 0) и прямой x = 2 равно ;

9) отношение расстояний до точки F (–4,5; 0) и прямой x = –8 равно ;

10) расстояние ее до точки F (1; 0) равно расстоянию от прямой x = 3.

3. Написать разложение вектора по векторам , , .

1. , , , .

2. , , , .

3. , , , .

4. , , , .

5. , , , .

6. , , , .

7. , , , .

8. , , , .

9. , , , .

10. , , , .

4. Даны вершины A ₁(x ₁; y ₁; z ₁), A ₂(x ₂; y ₂; z ₂), A ₃(x ₃; y ₃; z ₃), A ₄(x ₄; y ₄; z ₄) пирамиды A ₁ A ₂ A ₃ A ₄. Найти: 1) угол между ребрами A ₁ A ₃ и A ₁ A ₄; 2) площадь грани A ₁ A ₂ A ₃; 3) уравнение плоскости, содержащей грань A ₁ A ₂ A ₃; 4) уравнение высоты пирамиды, проведенной через вершину A ₄. Сделать схематический чертеж.

1. A ₁(2; 1; –4), A ₂(1; –2; 3), A ₃(1; –2; –3), A ₄(5; –2; 1).

2. A ₁(2; –1; 3), A ₂(–5; 1; 1), A ₃(0; 3; –4), A ₄(–1; –3; 4).

3. A ₁(5; 3; 2), A ₂(1; –8; 8), A ₃(4; –1; 2), A ₄(1; 4; –1).

4. A ₁(–2; 3; 4), A ₂(4; 2; –1), A ₃(2; –1; 4), A ₄(–1; –1; 1).

5. A ₁(4; –4; 0), A ₂(–5; 3; 2), A ₃(8; 0; 1), A ₄(2; 2; 3).

6. A ₁(–3; –4; 0), A ₂(0; –1; 3), A ₃(–6; 4; 2), A ₄(–3; 0; 3).

7. A ₁(0; 4; –4), A ₂(5; 1; –1), A ₃(–1; –1; 3), A ₄(0; –3; 7).

8. A ₁(0; –6; 3), A ₂(3; 3; –3), A ₃(–3; –5; 2), A ₄(–1; –4; 0).

9. A ₁(2; –1; –3), A ₂(0; 0; 0), A ₃(5; –1; –1), A ₄(–1; –1; 1).

10. A ₁(1; 5; 8), A ₂(–2; 1; 4), A ₃(3; –2; –3), A ₄(1; –1; 0).

Основные теоретические сведения.

Аналитическая геометрия на плоскости.

Простейшие задачи на плоскости

1. Расстояние между двумя точками и вычисляется по формуле: .

2. Если и , то координаты точки , делящей направленный отрезок в отношении , вычисляются по формулам: , . В частности, если точка делит отрезок пополам (), то , .

3. Если , и – вершины D , то его площадь вычисляется по формуле: .

Различные виды уравнения прямой на плоскости

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении : .

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: .

6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и : . Угловой коэффициент для такой прямой .

7. Уравнение прямой в отрезках на осях: , где параметры a и b равны величинам отрезков, которые прямая отсекает от оси Ox и Oy соответственно.

8. Нормальное уравнение прямой: , где параметр p > 0 равен длине нормали, проведенной к прямой из начала координат, a – угол между нормалью и положительной частью оси Ox.

9. Общее уравнение прямой: , где A и B одновременно не равны нулю.

10. Чтобы общее уравнение прямой привести к нормальному уравнению, нужно общее уравнение умножить на нормирующий множитель . Знак перед корнем выбирается противоположным знаку коэффициента .

Расстояние от точки до прямой

11. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле: .

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

12. Угол между прямыми и вычисляется по формуле: .

13. Условие параллельности двух прямых: прямые и параллельны тогда и только тогда, когда .

14. Условие перпендикулярности двух прямых: прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Кривые второго порядка

15. Окружностью радиуса R с центром в точке C (a; b) называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до центра С постоянно равно R.

16. Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом : (рис. 1).

17. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки F, называемой фокусом и от прямой L, называемой директрисой.

18.	Уравнение параболы	Фокус	Директриса
	(рис. 2)

 

Рис. 1

Рис. 2

19. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами (| F ₁ F ₂| = 2 c) есть величина постоянная, равная 2 a > 2 c.

20. Каноническое уравнение эллипса: (рис. 3). Точки , , и – вершины эллипса; отрезок – большая ось, отрезок – малая ось; параметры и – большая и малая полуоси; точки и – левый и правый фокусы; число – эксцентриситет; и – левый и правый фокальные радиусы. Параметры , и связаны равенством .

21. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами (| F ₁ F ₂| = 2 c) есть величина постоянная, равная ± 2 a, где 2 a < 2 c.

22. Каноническое уравнение гиперболы: (рис. 4). Точки и – вершины гиперболы; отрезок – действительная ось, отрезок – мнимая ось; параметры и – действительная и мнимая полуоси; точки и – левый и правый фокусы; число – эксцентриситет гиперболы; левый и правый фокальные радиусы для точек левой ветви гиперболы равны и , а для точек правой ветви гиперболы – и ; прямые и – асимптоты гиперболы. Параметры , и связаны равенством .

Рис. 3

Рис. 4

Элементы векторной алгебры.

1. Вектором с началом в точке А и концом в точке В называется направленный отрезок.

2. Если и , то координаты вектора равны или .

3. Два вектора и равны тогда и только тогда, когда

4. Сумма векторов и есть вектор .

5. Разность векторов и есть вектор .

6. Произведение вектора на число есть вектор .

7. Длина вектора есть число .

8. Единичный вектор для вектора есть вектор .

9. Скалярное произведение векторов и есть число , вычисляемое по формуле: .

10. Проекция вектора на вектор есть число . Аналогично, .

11. Угол между векторами и вычисляется по формуле: .

12. Условие ортогональности двух векторов: векторы и ортогональны () тогда и только тогда, когда или .

13. Условие коллинеарности двух векторов: векторы и коллинеарные () тогда и только тогда, когда или .

14. Направляющие косинусы вектора соответственно равны , и , где a, b, g – углы между вектором и координатными осями Ox, Oy и Oz соответственно.

15. Векторное произведение векторов и есть вектор .

16. Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис. 5), т. е. . Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна .

Рис. 5

17. Смешанное произведение векторов , и есть число .

18. Условие компланарности трех векторов: векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда .

19. Смешанное произведение трех векторов , взятое по модулю, численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (рис. 6), т. е. . Объем пирамиды, построенной на этих векторах, равен .

Рис. 6