Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.

Простейшее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

, где А – некоторая постоянная.

 

Решение таких уравнений сводится к решению дифференциальных уравнений первого порядка после введения вспомогательной функции и подстановки ее в исходное уравнение.

Производная функции равна . Подставим ее в исходное дифференциальное уравнение второго порядка и получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решение которого хорошо известно.

Затем делаем обратную замену: И решаем это дифференциальное уравнение первого порядка обычным образом.

Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка

Решение.

Введем вспомогательную функцию . Подставим ее в исходное уравнение и получим дифференциальное уравнение первого порядка вида: . Решаем его обычным образом:

Подставим начальные условия в полученное решение. Так как у(0)=2,то . А так как , то , значит .

Частное решение исходного уравнения примет вид: .

 

7.4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка вида .

Решение уравнения данного вида можно найти с помощью вспомогательной функции . При этом дифференциальное уравнение второго порядка сводится к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными: . Последовательность действий при решении такова:

 

Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Решение. Преобразуем исходное дифференциальное уравнение: . Введем функцию , тогда .

Найдем решение данного дифференциального уравнения.

 

, , , .

Делаем обратную замену:

, тогда , .

После интегрирования получим общее решение: .

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение: Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

 

Процедура решения таких дифференциальных уравнений состоит из следующих этапов:

 

1). Составляют характеристическое алгебраическое уравнение вида . В этом уравнении постоянные коэффициенты берут из исходного дифференциального уравнения второго порядка.

 

2). Находят корни характеристического уравнения, от значения которых и зависит вид решения дифференциального уравнения.

 

Рассмотрим, какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при различных вариантах значений корней характеристического уравнения.

 

1). Корни характеристического уравнения действительные, разные и равные Запомним без доказательства, что в этом случае общее решение исходного дифференциального уравнения записывают в виде:

 

2). Корни характеристического уравнения действительные, равные между собой . В этом случае общее решение имеет вид:

 

3). Если действительных корней характеристического уравнения нет, то говорят, что корни характеристического уравнения есть так называемые комплексные числа вида: , где α, β действительные числа, i – так называемая мнимая единица .

При этом .

Тогда общее решение дифференциального уравнения записывают в виде:

 

 

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

.

Находим корни уравнения:

Общее решение имеет вид:

 

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

.

Решение.

Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

 

Найдем частное решение при заданных начальных условиях. Подставим начальные условия в найденное решение:

 

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение.

Составим характеристическое уравнение: .

Найдем корни характеристического уравнения: , тогда .

Значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

 

Дополним решение начальными условиями. Пусть

Раздел 8. Понятие о рядах.

Числовой ряд.

Метод разложения в ряд является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения дифференциальных уравнений.

Ряды бывают числовые и функциональные.

Определение:

Выражение вида: называется числовым рядом, а

- членами числового ряда, если они являются числами, для которых известен закон, позволяющий определить каждый элемент этого ряда.

 

Числовые ряды бывают сходящимися и расходящимися.

 

Ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм этого ряда имеет конечный предел: , где - частичные суммы ряда. В противном случае ряд является расходящимся.

Пример сходящегося ряда: - геометрическая прогрессия.

Пример расходящегося ряда: (1+2+3…).