Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Это уравнение вида:

,

(3)

где

– многочлены степени n и m соответственно.

– постоянные величины.

Известно, что общее решение таких уравнений имеет вид

,

где – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3),

– общее решение соответствующего однородного уравнения

Частное решение уравнения (3) ищем в виде, подобном правой части:

,

(4)

где многочлены k -той степени с неизвестными коэффициентами, определяемыми в процессе решения, k= max{n,m}.

При этом следует составить число , где – коэффициент при x в показателе , – коэффициент при x в аргументе синуса или косинуса (если один из них отсутствует). Если это число не является корнем характеристического уравнения, то в виде (4) оставляем без изменения, если есть корень кратности s (повторяется s раз), то выбранный домножаем на .

Примеры

1) Если , то смотрим является ли корнем характеристического уравнения число ,

8 – многочлен нулевой степени, в общем виде это некоторое число, т.е. выбираем .

2)

.

После предварительного выбора проверяем, является ли число корнем характеристического уравнения. Далее находим первую, вторую производную , подставляем их в первоначальное уравнение и находим A, B, C.

Примеры (см. задание 5):

а) Найдем , решим соответствующее однородное уравнение

, составим характеристическое уравнение

,

(корень кратности 2 – повторяется 2 раза),

тогда -общее решение соответствующего однородного уравнения.

б) Найдем . Его будем искать в виде, подобном правой части. Там -это многочлен второй степени, в общем виде это , т.е.

.

Число не является корнем характеристического уравнения, значит, оставим в выбранном виде. Теперь найдем неизвестные коэффициенты . Так как – есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем и подставим в первоначальное уравнение

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Приравняем коэффициенты при (свободный член) в обеих частях

тогда

.

Общее решение

.

,

а) -решаем соответствующее однородное уравнение. Составим его характеристическое уравнение.

б) ,

-является корнем характеристического уравнения, тогда домножим на x, так как пара повторяется один раз, тогда окончательно

.

Найдем A и B.

Подставим в первоначальное ДУ

Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x

,

тогда .

Замечание. Если в правой части отсутствуют и , частное решение ищем все равно в виде суммы двух слагаемых.

Системы дифференциальных уравнений

Во многих прикладных задачах требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой ДУ

В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем в нормальной форме (в таких системах правые части уравнений не содержат производных искомых функций).

Для интегрирования этой системы применим метод исключения, с помощью которого данная система двух уравнений относительно двух искомых функций сводится к одному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример

Запишем систему иначе:

Из первого уравнения, например, выразим y (можно выразить x):

Найдем производную:

Подставим во второе уравнение системы y и y’, выраженные через x(t).

, упростим:

,

.

Получили дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции x (см. предыдущий раздел). Решим его.

:

По теореме Виета:

Найдем другую неизвестную функцию:

=

=3 С₁e^5t-C₂e^t,

т. е. решение системы имеет вид:

.

– произвольные постоянные.

Ряды

Ряд, сходимость, сумма.

Пусть дана последовательность чисел

Числовым рядом называется выражение

. (1)

Сумма первых членов называется частичной суммой.

Частичные суммы образуют в свою очередь последовательность , которая для одних рядов сходится, для других – расходится.

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм .

S называется суммой ряда. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Расходящиеся ряды суммы не имеют.