Дифференциальные уравнения 1 порядка

ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную:

или в явном виде

(1)

Теорема Коши. Если в уравнении (1) функции , определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x и y, то какова бы ни была внутренняя точка этой области, ДУ имеет единственное решение y=y(x), удовлетворяющее начальным условиям

(2)

Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая.

Определение. Функция y=y (x, С), зависящая от аргумента и произвольной постоянной С, называется общим решением ДУ, если

1) при любых значениях С функция y =y (x, С) является решением уравнения (1);

2) Какова бы ни была точка , существует единственное значение постоянной такое, что – есть решение (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

ДУ с разделяющимися переменными

ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде ,

где правая часть есть произведение сомножителей, каждый из которых является функцией только одной переменной.

Способ решения: разделение переменных по соответствующим дифференциалам (при dx должна стоять функция, зависящая от x, при dy – функция зависящая от y).

Пример:

1) ;

;

;

;

;

– общее решение ДУ.

2) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Найдем общее решение

– общее решение. Выделим из него частное, удовлетворяющее начальным условиям , .

; С =-22, тогда

– из всего семейства интегральных кривых (парабол) выделили одну, проходящую через заданную точку (4; 2).

Однородные функции

Функция f(x,y) называется однородной k -ой степени однородности, если выполняется равенство:

.

В частности, если

– функция однородная нулевой степени однородности.

Примеры

1) .

– однородная функция второй степени однородности.

2) .

– однородная функция нулевой степени однородности.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде , где – однородная функция нулевой степени однородности. Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y=xt, dy=xdt+tdx.

Примеры

1) ;

xdy=(x+y)dx, y=xt, dy=xdt+tdx

x(xdt+tdx)=(x+xt)dx

xdt+tdx=(1+t)dx

xdt+tdx=dx+tdx

xdt=dx

, вернемся к старой переменной

.

2)

Пусть y=xt, dy=xdt+tdx,

;

- е ^{- t} =ln| x |+ C.

Вернемся к старым переменным: .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде , где P(x), Q(x) – заданные функции (функция y и ее производная или дифференциал dy входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени и порознь друг от друга).

Один из способов решения – метод Бернулли (подстановка Бернулли).

Будем искать решение в виде y=UV, тогда Подставим в уравнение

.Выберем V так, чтобы , тогда .

Таким образом, решение данного линейного уравнения сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными:

, решая его находим V, подставляем V во второе:

, из которого находим U.

Тогда решение первоначального уравнения имеет вид

Примеры (см. задание 4):

1) .

Пусть , тогда ,

, сведем его к двум уравнениям

1) ;

2) , решаем их последовательно.

а)

(ищем частный интеграл)

V = cos x.

б)

U = sin x + C,

Тогда решение первоначального уравнения имеет вид

.

2) , при .

;

; ;

а)

б)

 

– общее решение. Выделим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; ;

Линейные однородные Д.У. второго порядка с постоянными

Коэффициентами

Это уравнения вида

,

(1)

где – константы.

Общее решение такого уравнения имеет вид

где – произвольные постоянные

-общее решение однородного уравнения,

-линейно независимые частные решения уравнения (1).

Определение. Функции и называются линейно независимыми (зависимыми) на (a, b), если при

Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения

,

(2)

называемого характеристическим, в котором степень k равна порядку производной в уравнении (1).

При этом возможны следующие случаи:

1. При уравнение (2) имеет действительные различные корни , тогда частные решения ДУ (1) имеют вид , (в чем можно убедится непосредственной подстановкой).

Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:

2. При характеристическое уравнение (2) имеет два действительных равных корня , тогда частными решениями Д.У. (1) являются функции , общее решение (1) имеет вид

3. Если , то характеристическое уравнение (2) не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида .

Тогда частные решения

Общее решение (1) имеет вид

Примеры (см. задание 5):

1) , составим характеристическое уравнение:

; ; .

2) , составим характеристическое уравнение

;

;

.

3)

4)