Интегральные уравнения Вольтера 2-ого рода

Интегральные уравнения Вольтера 2-ого рода

Линейным интегральным уравнением Вольтера 2-ого рода называется уравнение

, (1)

где - искомая функция, и - известные функции, определенные соответственно в треугольнике и на отрезке . Функция называется ядром интегрального уравнения (1), функция - свободным членом этого уравнения.

Решением уравнения (1) называется всякая функция , , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Вопрос о существовании и единственности решения решается различным образом в зависимости от свойства ядра и свободного члена , а также от того, в каком классе функций ищется решение. Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, мы будем предполагать, что функции и непрерывны в своей области определения. При этом условии уравнение (1) имеет, и при том единственное, решение в классе функций, непрерывных на .

Интегральные уравнения Вольтерра 2-ого рода используются обычно при описании динамики различных процессов в системах. В частности, всякая задача Коши для линейного дифференциального уравнения

может быть сведена к решению некоторого линейного интегрального уравнения Вольтерра 2-ого рода.

Задача Коши для произвольного дифференциального уравнения 1 – ого порядка вида

эквивалентна в общем случае нелинейному интегральному уравнению Вольтерра

.

Аналогично, задача Коши для произвольного дифференциального уравнения n – ого порядка, разрешенного относительно старшей производной

может быть сведена к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра.

Во многих случаях решение интегрального уравнения Вольтера 2-ого рода (или системы таких уравнений) в свою очередь может быть сведено к решению некоторой задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим два способа, посредством которых это может быть сделано.

а) Если в исходном интегральном уравнении (1) ядро и свободный член имеют непрерывные производные и , то это уравнение может быть продифференцировано (один или несколько раз), что и позволяет в ряде случаев свести его к задаче Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения.

Рассмотренный прием всегда приводит к цели в том случае, когда ядро имеет вид многочлена по степеням бинома .

Пусть исходное интегральное уравнение (1) имеет вид

(14)

(уравнение с вырожденным ядром). Запишем его следующим образом:

. (15)

Вводя функции

,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ (16)

и подставляя их в (15), заключаем, что решение интегрального уравнения (14) имеет вид

. (17)

Далее, дифференцируя соотношения (16) и подставляя вместо выражение (17), получаем для неизвестных функций систему дифференциальных уравнений

,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

.

Из (16) при находим начальные условия: . Определив функции и подставив их в (17), получим решение интегрального уравнения (14).

Метод последовательных приближений.

Метод последовательных приближений применительно к линейному интегральному уравнению Вольтера 2-ого рода

заключается в следующем. Строится последовательность функций , где нулевое приближение - произвольная функция, а последующие приближения определяются с помощью рекуррентного соотношения

Если ядро и свободный член непрерывны соответственно при и на отрезке , то построенная таким образом последовательность приближений при сходится к единственному непрерывному решению интегрального уравнения.

Обычно полагают , однако это вовсе не обязательно: удачный выбор нулевого приближения часто позволяет ускорить сходимость последовательности к точному решению.

Теоремы Фредгольма.

Для уравнений Фредгольма 2-ого рода вида

, (28)

где и - конечные числа, а ядро и свободный член интегрируемы с квадратом в области и на отрезке (в частности, непрерывны), справедливы следующие теоремы Фредгольма (при формулировке которых мы ограничимся случаем действительного ядра ).

1. Однородное уравнение

(29)

имеет либо конечное, либо счетное множество характеристических чисел; если этих чисел счетное множество, то они стремятся к бесконечности.

2. Если l - характеристическое число, то уравнение (29) и сопряженное ему однородное уравнение

, (30)

где , имеют одно и то же, и притом конечное, число линейно независимых решений.

3. Альтернатива Фредгольма: либо неоднородное уравнение (28) имеет одно и только одно решение для любой функции , либо соответствующее однородное уравнение (29) имеет, по крайней мере, одно нетривиальное решение. (Другими словами, если число l не является характеристическим, то уравнение (28) имеет, и притом единственное, решение для любой функции .)

4. Если l - характеристическое число, то для того чтобы уравнение (28) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы свободный член был ортогонален любому решению однородного сопряженного уравнения (30), т.е.

.

Проиллюстрируем теоремы Фредгольма на примере интегрального уравнения с вырожденным ядром.

Вариация функционала.

Для любой разность называют вариацией функции ; здесь . Таким образом, вариация функции сама является функцией из того же пространства, то есть . Будем говорить, что «точка» является внутренней для множества D, если она входит в него вместе с некоторой своей d – окрестностью.

Рассмотрим приращение функционала в произвольной внутренней «точке»

.

Если в приращении функционала можно выделить линейную часть по отношению к вариации , то есть представить

,

где – линейный функционал относительно , а – величина, имеющая более высокий порядок малости, чем при , то линейная часть называется дифференциалом функционала , а функционал считается дифференцируемым по Фреше (Фрешé Морис Рене – французский математик).

Рассмотрим однопараметрическое семейство функций

,

где – параметр, – внутренняя «точка». Первой вариацией функционала I в «точке» называют предел

.

Первую вариацию также называют дифференциалом Гато (Гатó Рене Эжен – французский математик). Заметим, что из дифференцируемости по Фреше функционала I следует существование его первой вариации, которая в этом случае совпадает с дифференциалом, то есть . Однако существование первой вариации функционала I еще не означает его дифференцируемости в соответствующей «точке» , подобно тому, как существование производной по любому направлению в данной точке для функции многих переменных еще не означает ее дифференцируемости в этой точке.

Изопериметрические задачи

Изопериметрическими задачами называются задачи, в которых рассматриваются функционалы вида

(1)

с граничными условиями

, (2)

и так называемыми параметрическими условиями, - числа

. (3)

Изопериметрическая задача может быть сведена к задаче на безусловный экстремум функционал

.

Уравнения Эйлера для функционала имеют вид

Из последних уравнений получаем, что - постоянные, а первые уравнений совпадут с уравнениями Эйлера для функционала

(4),

следовательно, получаем следующее правило:

Для получения основного необходимого условия в изопериметрической задаче о нахождении экстремума функционала при наличии связей (3), надо составить вспомогательный функционал (4), где и написать для него уравнение Эйлера. Произвольные постоянные в общем решении уравнения Эйлера и постоянные определяются из граничных условий (2) и изопериметрических условий (3).

 

Примечание. Материалы данного справочника ни в коем случае не являются самостоятельным учебным материалом: все приведенные теоремы необходимо дополнить доказательствами (если другое не оговорено здесь), а используемые понятия - дополнительными пояснениями, изложенными в лекционном курсе или учебниках по соответствующим разделам.

Интегральные уравнения Вольтера 2-ого рода

Линейным интегральным уравнением Вольтера 2-ого рода называется уравнение

, (1)

где - искомая функция, и - известные функции, определенные соответственно в треугольнике и на отрезке . Функция называется ядром интегрального уравнения (1), функция - свободным членом этого уравнения.

Решением уравнения (1) называется всякая функция , , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Вопрос о существовании и единственности решения решается различным образом в зависимости от свойства ядра и свободного члена , а также от того, в каком классе функций ищется решение. Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, мы будем предполагать, что функции и непрерывны в своей области определения. При этом условии уравнение (1) имеет, и при том единственное, решение в классе функций, непрерывных на .

Интегральные уравнения Вольтерра 2-ого рода используются обычно при описании динамики различных процессов в системах. В частности, всякая задача Коши для линейного дифференциального уравнения

может быть сведена к решению некоторого линейного интегрального уравнения Вольтерра 2-ого рода.

Задача Коши для произвольного дифференциального уравнения 1 – ого порядка вида

эквивалентна в общем случае нелинейному интегральному уравнению Вольтерра

.

Аналогично, задача Коши для произвольного дифференциального уравнения n – ого порядка, разрешенного относительно старшей производной

может быть сведена к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра.

Во многих случаях решение интегрального уравнения Вольтера 2-ого рода (или системы таких уравнений) в свою очередь может быть сведено к решению некоторой задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим два способа, посредством которых это может быть сделано.

а) Если в исходном интегральном уравнении (1) ядро и свободный член имеют непрерывные производные и , то это уравнение может быть продифференцировано (один или несколько раз), что и позволяет в ряде случаев свести его к задаче Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения.

Рассмотренный прием всегда приводит к цели в том случае, когда ядро имеет вид многочлена по степеням бинома .

Пусть исходное интегральное уравнение (1) имеет вид

(14)

(уравнение с вырожденным ядром). Запишем его следующим образом:

. (15)

Вводя функции

,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ (16)

и подставляя их в (15), заключаем, что решение интегрального уравнения (14) имеет вид

. (17)

Далее, дифференцируя соотношения (16) и подставляя вместо выражение (17), получаем для неизвестных функций систему дифференциальных уравнений

,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

.

Из (16) при находим начальные условия: . Определив функции и подставив их в (17), получим решение интегрального уравнения (14).