Функционалы, зависящие от производных более высоких порядков.

Рассматривается функционал с граничными условиями , , , , …, , .

В этом случае получаем, что экстремаль должна удовлетворять уравнению

(1)

– уравнение Эйлера – Пуассона.

Уравнение (1) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, порядка общее решение содержит постоянных, которые находятся с помощью граничных условий.

Простейшая задача с подвижными концами.

Предположим, что в простейшей задаче правая граничная точка допустимых кривых не закреплена, то есть отсутствует условие , и задача принимает вид:

, (1)

. (2)

Надо найти кривую , проходящую через точку и доставляющую экстремум функционалу (1). Будем исходить из того, что искомая кривая должна быть экстремалью, то есть удовлетворять уравнению Эйлера

(3)

Из необходимого условия экстремума после соответствующих преобразований следует

. (4)

Могут быть две различные ситуации:

1. Если правый конец свободный, - независимые. (4) выполняется при любых . Это возможно только если , или .

2. Если правый конец экстремали должен быть расположен на заданной кривой , тогда ,

(5)

– условие трансверсальности. Здесь возможны также частные ситуации:

а) , тогда ; б) , тогда ;

Аналогично, получаем условия на левом конце.

Вариационные задачи на условный экстремум. Случай геометрических и дифференциальных связей.

Задачей на условный экстремум называется задача на экстремум, в которой накладываются дополнительные ограничения в виде уравнений, связывающих переменные и , то есть независимые переменные и неизвестные функции, такие уравнения называются уравнениями связи.

Связи вида .

Это геометрические связи, они не содержат производных независимых функций. Задача на условный экстремум в этом случае имеет вид:

(1)

, (2)

, (3)

Из (1), (3) составим вспомогательный функционал

. (4)

Теорема. Функции ,реализующие экстремум функционала (1) при наличии условий (3), удовлетворяют при соответствующем выборе множителя уравнениям Эйлера, полученного для функционала (4). Функции и определяются из уравнений Эйлера , , , .

Уравнение (3)можно так же считать уравнением Эйлера для , если аргументом функционала считать не только , но и .

Замечание. Уравнения (3) предполагаются независимыми, то есть хотя бы один из Якобианов порядка отличен от нуля, например .

Связи вида .

( входят также производные неизвестных функций – так называемые дифференциальные связи )

Пусть требуется отыскать экстремум функционала

(1)

при дополнительных условиях

, , . (2)

– неголономные (дифференциальные) связи.

Здесь так же можно доказать правило множителей, заключающееся в том, что условный экстремум функционала достигается на тех же кривых на которых реализуется безусловный экстремум функционала

.

Таким образом, функции , реализующие экстремум функционала и множители должны удовлетворять уравнений

,

то есть должны удовлетворять уравнениям Эйлера для вспомогательного функционала , который рассматривается как функционал, зависящий от функций .

Изопериметрические задачи

Изопериметрическими задачами называются задачи, в которых рассматриваются функционалы вида

(1)

с граничными условиями

, (2)

и так называемыми параметрическими условиями, - числа

. (3)

Изопериметрическая задача может быть сведена к задаче на безусловный экстремум функционал

.

Уравнения Эйлера для функционала имеют вид

Из последних уравнений получаем, что - постоянные, а первые уравнений совпадут с уравнениями Эйлера для функционала

(4),

следовательно, получаем следующее правило:

Для получения основного необходимого условия в изопериметрической задаче о нахождении экстремума функционала при наличии связей (3), надо составить вспомогательный функционал (4), где и написать для него уравнение Эйлера. Произвольные постоянные в общем решении уравнения Эйлера и постоянные определяются из граничных условий (2) и изопериметрических условий (3).

 

Примечание. Материалы данного справочника ни в коем случае не являются самостоятельным учебным материалом: все приведенные теоремы необходимо дополнить доказательствами (если другое не оговорено здесь), а используемые понятия - дополнительными пояснениями, изложенными в лекционном курсе или учебниках по соответствующим разделам.