Уравнения Фредгольма 2-ого рода с симметричным ядром

Ядро называется симметричным, если оно удовлетворяет условию для всех . Для симметричных ядер, удовлетворяющих условию , дополнительно к основным теоремам Фредгольма справедливы следующие утверждения:

1. Симметричное ядро, отличное от тождественного нуля, имеет, по крайней мере, одно характеристическое число.

2. Характеристические числа симметричного ядра действительны, а собственные функции, соответствующие различным характеристическим числам, ортогональны.

На практике часто встречается случай, когда интегральное уравнение с симметричным ядром является решением некоторой самосопряженной однородной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. В таких случаях нахождение характеристических чисел и собственных функций ядра сводится к решению указанной краевой задачи.

Если задано неоднородное интегральное уравнение

(45)

с симметричным ядром , удовлетворяющим условию

,

то его решение в общем случае может быть найдено следующим образом.

Пусть

(46)

- последовательность характеристических чисел ядра , а

(47)

- соответствующая ортонормированная последовательность собственных функций. При этом в последовательности (46) каждое характеристическое число выписывается столько раз, каков его ранг, т.е. число линейно независимых функций, соответствующих этому характеристическому числу.

Если параметр l в уравнении (45) не совпадает ни с одним характеристическим числом , то решение этого уравнения (существующее и единственное в силу 3-ей теоремы Фредгольма для любой правой части ) дается формулой

, (48)

где

(49)

Если же параметр l совпадает с одним из характеристических чисел, имеющим ранг r, т.е. для некоторого m, то решение существует в том и только в том случае, когда функция ортогональна ко всем собственным функциям, соответствующим данному характеристическому числу, т.е. выполнены r условий

. (50)

В этом случае уравнение имеет бесконечное множество решений, имеющих вид

, (51)

где - произвольные постоянные.

 

 

10. Функциональные пространства . Функционалы.

Множество функций , определенных на некотором отрезке и имеющих на этом отрезке непрерывные производные порядка k, образуют линейное пространство . Например: пространство непрерывных функций ; пространство функций, имеющих непрерывную первую производную и так далее. Элементы этого пространства часто обозначают или просто . Здесь точка в круглых скобках указывает на наличие аргумента, но его несущественную роль в обозначении элемента. Если в этих пространствах определить следующие нормы:

- норма в ,

- норма в , то эти пространства будут полными нормированными, или банаховыми. На основе указанной нормы можно определить расстояние между «точками» этого пространства – некоторыми функциями и

.

Пусть – некоторая функция. Множество функций , для которых называют d – окрестностью функции . Так как имеет место последовательное включение пространств , в пространстве можно использовать нормы более широких пространств . В этом случае d – окрестность будет содержать функции более широкого класса; принято d – окрестность по норме называть сильной d – окрестностью, а по норме – слабой d – окрестностью. Согласно определению, слабая d – окрестность всегда содержится в сильной d – окрестности. Заметим, что пространство по отношению к норме перестает быть банаховым. Это следует, например, из того факта, что не всякая непрерывная функция, являющаяся предельной для последовательности дифференцируемых функций, будет обязательно дифференцируемой.

Отображение множества на множество действительных чисел R называют функционалом и обозначают ; множество D называют множеством допустимых функций для функционала I. Функционал называется непрерывным по норме в «точке» , если для любого можно указать , такое что, как только и , то .

Вариация функционала.

Для любой разность называют вариацией функции ; здесь . Таким образом, вариация функции сама является функцией из того же пространства, то есть . Будем говорить, что «точка» является внутренней для множества D, если она входит в него вместе с некоторой своей d – окрестностью.

Рассмотрим приращение функционала в произвольной внутренней «точке»

.

Если в приращении функционала можно выделить линейную часть по отношению к вариации , то есть представить

,

где – линейный функционал относительно , а – величина, имеющая более высокий порядок малости, чем при , то линейная часть называется дифференциалом функционала , а функционал считается дифференцируемым по Фреше (Фрешé Морис Рене – французский математик).

Рассмотрим однопараметрическое семейство функций

,

где – параметр, – внутренняя «точка». Первой вариацией функционала I в «точке» называют предел

.

Первую вариацию также называют дифференциалом Гато (Гатó Рене Эжен – французский математик). Заметим, что из дифференцируемости по Фреше функционала I следует существование его первой вариации, которая в этом случае совпадает с дифференциалом, то есть . Однако существование первой вариации функционала I еще не означает его дифференцируемости в соответствующей «точке» , подобно тому, как существование производной по любому направлению в данной точке для функции многих переменных еще не означает ее дифференцируемости в этой точке.