Метод письменной замены переменной (подстановки)



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Метод письменной замены переменной (подстановки)



План

1. Вводим новую переменную (подстановку)

2. Дифференцируем подстановку.

3. Вводим новую переменную в подынтегральное выражение.

4. Вычисляем интеграл.

5. Возвращаемся к старой переменной.

Примеры (см. задание 1а):

1)

.

2)

.

3) .

Метод интегрирования по частям

Этот метод применяют для интегралов вида:

а) , , ;

б) , , , , ;

в) , ;

где - многочлен.

Формула интегрирования по частям имеет вид:

.

1) Для интегралов типа а) принимают U =P(x), все остальное равно dV.

2) Для интегралов типа б) принимают dV =P(x)dx.

3) для интегралов типа в) за U принимают любую функцию, метод применяют дважды.

Примеры (см. задание 1б):

1) ;

2)

;

3)

.

4) можно решение записать иначе:

Получили первоначальный интеграл, обозначим его за y

;

;

+С.

Определенный интеграл

Задача о площади.

Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x), прямыми x=a, x=b, отрезком [a ,b]. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

1) Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками . Получим n маленьких отрезков с длинами ; .

2) Через точки деления проведем вертикальные прямые. Трапеция разобьется на n трапеций. На каждом из элементарных отрезков выберем произвольным образом по точке .

Найдем значения функции в этих точках

.

Примем эти ординаты за высоты прямоугольников.

3) Посчитаем, что площади маленьких криволинейных трапеций приближенно равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами . Тогда

.

Чем мельче отрезки деления, тем точнее это равенство. За точное значение площади трапеции примем предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю наибольшей из длин этих отрезков.

.

Понятие определенного интеграла

К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит

ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи.

Пусть на [a, b] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида

.

Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [a, b]. Она

зависит от способа деления [a, b] на элементарные части и от выбора точек

на каждой из этих частей.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий от способа деления [a, b] и выбора точек , то этот предел (число) называется определенным интегралом от функции f(x) на [a, b] и обозначается

_____________________________

Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем

т.е. при определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Теорема. Для любой непрерывной на [a,b] функции существует определенный интеграл.

 

Свойства определенного интеграла

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) Если , то ;

Если , то .

Следствие. Если , то .

7) Если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b], то справедлива оценка

8) (Теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка такая, что

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

Примеры

1) ;

2)

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b], введем подстановку . Если

1) непрерывны при ,

2) при изменении t от до , функция изменяется от a до b, , то справедлива формула замены переменной:

Пример (см. задание 2):

 

Вычисление площадей плоских фигур

– площадь криволинейной трапеции.

 

 

Площадь фигуры, ограниченной линиями , находим по формуле

Эта формула остается справедливой при любом расположении рассматриваемой фигуры.

 

Пример (см. задание 3):

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

1) Найдем точки пересечения данных кривых.

;

;

;

; .

2) Построим графики данных функций.

(для прямой )

(парабола ).

4 Дифференциальные уравнения

Основные понятия

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:

.

2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.

3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.

4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.239.58.199 (0.012 с.)